Ви тримаєте лінійку. Ви спостерігаєте рух секундної стрілки. Ви вимірюєте відстань до найближчої автобусної зупинки. У кожен із цих моментів ви взаємодієте з дійсними числами.
Вони є основою безперервного виміру. Розмір. Час. Вага. Простір.
Це різко контрастує з натуральними числами – 1, 2, 3 – які ми використовуємо для підрахунку дискретних об’єктів. У вас може бути три яблука. Але ви не можете мати 2,5 яблука, не розрізавши одне. Проте час минає. Воно не стрибає цілими секундами. Воно ковзає. Справжні числа вловлюють це ковзання.
Значення назви числа
Слово “дійсні” – це не просто ярлик. Це різниця. Воно відокремлює ці вимірні величини від уявних чисел, що включають i (квадратний корінь -1).
Комплексні числа, такі як 1 + i, складаються із двох частин. Дійсна частина. Уявної частини.
Але “дійсні числа” існують самі по собі. Вони включають все, що можна відобразити на безперервній прямій, що тягнеться від негативної нескінченності до позитивної нескінченності. Це включає в себе:
* Позитивні та негативні цілі числа
* Дроби від цих цілих чисел (раціональні числа)
* Іраціональні числа
Ключова відмінність полягає в тому, як вони поводяться у вигляді десяткових дробів.
Раціональні проти ірраціональних: гра з патернами
Раціональні числа завжди мають патерн. Їхні десяткові розкладання періодичні.
Подивіться на 1/6. Воно перетворюється на 0,16666…. Цифра 6 повторюється нескінченно.
Подивіться на 2/7. Воно перетворюється на 0,285714285714…. Група 285 714 повторюється.
Якщо ви можете знайти блок цифр, що повторюється, число є раціональним.
Ірраціональні числа порушують це правило. Їх десяткові дроби продовжуються нескінченно, ніколи не переходячи в цикл, що повторюється.
Візьміть 0,42442444244442…. Кількість четвірок збільшується щоразу. Жоден блок не повторюється. Це ірраціональне число.
Найвідомішими прикладами є алгебраїчні ірраціональні числа. Це коріння рівнянь алгебри з цілими коефіцієнтами. Найпростіший випадок? x² – 2 = 0 . Рішення – √2. Його не можна записати у вигляді дробу. Воно ірраціональне.
Потім є трансцендентні числа. Вони не є рішеннями будь-яких таких рівнянь алгебри. π і e потрапляють до цієї категорії. Їх часто можна подати у вигляді нескінченних сум дробів. Ваш калькулятор відображає їх у вигляді десяткових дробів, але ці десяткові дроби є лише наближення нескінченної, неперіодичної суми.
Проблема повноти
Чому ця відмінність має значення? Все зводиться до властивості, яка називається повнотою.
Справжні числа сповнені. Кожна непорожня множина, що має верхню межу, має найменшу таку межу. Це межа.
Раціональні числа не сповнені.
Розглянемо безліч всіх раціональних чисел, квадрати яких менші за 2. Ми знаємо, що √2 є кордоном. Але √2 не є раціональним числом. Таким чином, у багатьох раціональних чисел немає «найменшої верхньої межі». Є розрив. Діра на числовій прямій.
Дійсні числа заповнюють цю дірку. Вони забезпечують безперервний каркас, необхідний математичного аналізу, фізики та інженерії. Без повноти математика змін руйнується.
Різні розміри нескінченності
Тут цікаво.
І раціональні, і ірраціональні числа нескінченні. Але не всі нескінченності рівні.
Нескінченність ірраціональних чисел «більше», ніж нескінченність
