Du hältst ein Lineal. Sie beobachten, wie ein Sekundenzeiger tickt. Sie messen die Entfernung zur nächsten Bushaltestelle. In jedem einzelnen dieser Momente interagieren Sie mit realen Zahlen.
Sie sind die Grundlage einer kontinuierlichen Messung. Größe. Zeit. Gewicht. Raum.
Dies steht in krassem Gegensatz zu den natürlichen Zahlen – 1, 2, 3 –, die wir zum Zählen diskreter Objekte verwenden. Sie können drei Äpfel haben. Man kann keine 2,5 Äpfel haben, ohne einen zu schneiden. Aber die Zeit vergeht. Es springt nicht in ganzen Sekunden. Es gleitet. Reale Zahlen erfassen diese Folie.
Der Name hinter der Nummer
Das Wort echt ist nicht nur eine Bezeichnung. Es ist eine Unterscheidung. Es trennt diese messbaren Größen von den imaginären Zahlen unter Einbeziehung von i (der Quadratwurzel von -1).
Komplexe Zahlen wie 1 + i bestehen aus zwei Teilen. Ein echtes Teil. Ein imaginärer Teil.
Aber reelle Zahlen stehen für sich allein. Sie umfassen alles, was Sie auf einer durchgehenden Linie darstellen können, die von negativer Unendlichkeit bis positiver Unendlichkeit reicht. Dazu gehört:
* Positive und negative ganze Zahlen
* Brüche dieser ganzen Zahlen (rationale Zahlen)
* Irrationale Zahlen
Der Hauptunterschied liegt darin, wie sie sich als Dezimalzahlen verhalten.
Rational vs. Irrational: Das Musterspiel
Rationale Zahlen haben immer ein Muster. Ihre Dezimalentwicklungen wiederholen sich.
Schauen Sie sich 1/6 an. Es wird 0,16666…. Die Ziffer 6 wiederholt sich ewig.
Schauen Sie sich 2/7 an. Es wird 0,285714285714…. Die Gruppe 285714 wiederholt sich.
Wenn Sie einen sich wiederholenden Ziffernblock finden können, ist dies rational.
Irrationale Zahlen verstoßen gegen diese Regel. Ihre Dezimalzahlen dauern ewig, ohne dass es jemals zu einem Wiederholungszyklus kommt.
Nehmen Sie 0,42442444244442…. Die Anzahl der 4er erhöht sich jedes Mal. Keine Blockwiederholungen. Es ist irrational.
Die bekanntesten Beispiele sind algebraische irrationale Zahlen. Dies sind Wurzeln algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Der einfachste Fall? x² – 2 = 0. Die Lösung ist √2. Es kann nicht als Bruch geschrieben werden. Es ist irrational.
Dann gibt es transzendente Zahlen. Dies sind keine Lösungen für eine solche algebraische Gleichung. π und e fallen in diese Kategorie. Sie können oft als unendliche Summen von Brüchen dargestellt werden. Ihr Rechner zeigt sie als Dezimalzahlen an, aber diese Dezimalzahlen sind nur Annäherungen an eine endlose, sich nicht wiederholende Summe.
Das Problem der Vollständigkeit
Warum ist diese Unterscheidung wichtig? Es kommt auf eine Eigenschaft namens Vollständigkeit an.
Die reellen Zahlen sind vollständig. Jede nichtleere Menge, die eine Obergrenze hat, hat eine kleinste solche Grenze. Das ist eine Grenze.
Rationale Zahlen sind nicht vollständig.
Betrachten Sie die Menge aller rationalen Zahlen, deren Quadrate kleiner als 2 sind. Wir wissen, dass √2 die Grenze ist. Aber √2 ist nicht rational. Innerhalb der Menge der rationalen Zahlen gibt es also keine „kleinste Obergrenze“. Es gibt eine Lücke. Ein Loch im Zahlenstrahl.
Die reellen Zahlen füllen diese Lücke. Sie bieten das kontinuierliche Gerüst, das für Analysis, Physik und Ingenieurwesen benötigt wird. Ohne Vollständigkeit fällt die Mathematik der Veränderung auseinander.
Verschiedene Größen der Unendlichkeit
Hier wird es seltsam.
Sowohl rationale als auch irrationale Zahlen sind unendlich. Aber nicht alle Unendlichkeiten sind gleich.
Die Unendlichkeit der irrationalen Zahlen ist „größer“ als die Unendlichkeit