Estás sosteniendo una regla. Estás viendo un tictac de segunda mano. Estás midiendo la distancia hasta la parada de autobús más cercana. En cada uno de estos momentos, estás interactuando con números reales.
Son la base de la medición continua. Tamaño. Tiempo. Peso. Espacio.
Esto contrasta marcadamente con los números naturales (1, 2, 3) que utilizamos para contar objetos discretos. Puedes tener tres manzanas. No puedes tener 2,5 manzanas sin cortar una. Pero el tiempo fluye. No salta en segundos enteros. Se desliza. Los números reales capturan esa diapositiva.
El nombre detrás del número
La palabra real no es sólo una etiqueta. Es una distinción. Separa estas cantidades mensurables de los números imaginarios que involucran i (la raíz cuadrada de -1).
Los números complejos, como 1 + i, tienen dos partes. Una verdadera parte. Una parte imaginaria.
Pero los números reales son independientes. Incluyen todo lo que puedes trazar en una línea continua que se extiende desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Esto incluye:
* Enteros positivos y negativos
* Fracciones de esos números enteros (números racionales)
* Números irracionales
La diferencia clave radica en cómo se comportan como decimales.
Racional versus irracional: el juego de patrones
Los números racionales siempre tienen un patrón. Sus expansiones decimales se repiten.
Mira 1/6. Se convierte en 0,16666…. El dígito 6 se repite para siempre.
Mira 2/7. Se convierte en 0,285714285714…. El grupo 285714 se repite.
Si puedes encontrar un bloque de dígitos que se repite, es racional.
Los números irracionales rompen esta regla. Sus decimales continúan para siempre sin siquiera establecerse en un ciclo repetido.
Tome 0,42442444244442…. El número de 4 aumenta cada vez. No se repite ningún bloque. Es irracional.
Los ejemplos más famosos son los números irracionales algebraicos. Estas son raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. ¿El caso más simple? x² – 2 = 0. La solución es √2. No se puede escribir como una fracción. Es irracional.
Luego están los números trascendentales. Éstas no son soluciones a ninguna ecuación algebraica de este tipo. π y e entran en esta categoría. A menudo se pueden representar como sumas infinitas de fracciones. Su calculadora los muestra como decimales, pero esos decimales son sólo aproximaciones de una suma infinita y no repetida.
El problema de la integridad
¿Por qué es importante esta distinción? Todo se reduce a una propiedad llamada integridad.
Los números reales están completos. Todo conjunto no vacío que tiene un límite superior tiene un límite más pequeño. Este es un límite.
Los números racionales no están completos.
Considere el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2. Sabemos que √2 es la frontera. Pero √2 no es racional. Entonces, dentro del conjunto de números racionales, no existe un “límite superior más pequeño”. Hay una brecha. Un agujero en la recta numérica.
Los números reales llenan ese vacío. Proporcionan el andamiaje continuo necesario para el cálculo, la física y la ingeniería. Sin exhaustividad, las matemáticas del cambio se desmoronan.
Diferentes tamaños de infinito
Aquí es donde se vuelve extraño.
Tanto los números racionales como los irracionales son infinitos. Pero no todos los infinitos son iguales.
La infinidad de números irracionales es “mayor” que el infinito
