La Operación Overlord no se trataba sólo de valentía. Se trataba de datos. Cuando las fuerzas aliadas atacaron las playas de Normandía, se enfrentaron a una cantidad desconocida de blindados nazis. Tanques más nuevos. Más difícil de vencer. Las agencias de inteligencia de Estados Unidos, Reino Unido y Canadá tenían un problema: necesitaban cifras de producción.
Recurrieron a los matemáticos.
No generales. Estadísticos.
El secreto del número de serie
Al principio de la guerra, los aliados capturaron algunos tanques alemanes. Los destrozaron. Al mirar dentro encontraron algo útil: números de serie.
No fueron aleatorios. Los números de chasis estaban por todos lados, desordenados. ¿Pero las transmisiones? Secuencial. ¿El arma se monta? Secuencial. Incluso las ruedas de la carretera tenían números en orden. Este pequeño detalle lo cambió todo. Al procesar esos dígitos, los expertos podrían estimar la producción mensual total. Sus resultados superaron con creces cualquier otra suposición de inteligencia.
“Los resultados matemáticos del llamado ‘problema de los tanques alemanes’ se acercaban mucho más a la verdad.”
Haciendo los cálculos
Finjamos. Supongamos que los nazis tienen $N$ = 271 tanques. No lo sabes. Captas 15. Aquí están sus números: 3, 7, 3, 17, …, hasta 242.
Sabes que hay al menos 271. En realidad, espera: el más alto es 242, así que sabes que hay al menos esa cantidad. Pero probablemente más. ¿Cómo adivinas el total?
Existen cuatro métodos.
Método 1: La mediana.
Toma el número del medio. En una lista de 15, el octavo valor es tu ancla. Para nuestro ejemplo, eso es 116. Si esta pequeña muestra refleja perfectamente el panorama general, la duplica y le resta uno. $N_1$ = 231.
Mala suposición. El tanque más alto que vimos fue 242. ¿Adivinó 231 en total? Eso es imposible.
Método 2: La media.
Sume los 15 números capturados. Divide entre 15. Obtienes un promedio de 119. Duplícalo y resta uno.
$N_2$ = 237.
También imposible. ¿Por qué? Porque la media te deprime. Los valores atípicos lo estropean. Este método falla porque ignora el techo.
Método 3: La brecha al final.
Mira el número más bajo. Son 3. Eso significa que dos tanques vinieron antes (1 y 2). Supongamos que existe la misma brecha después del número más alto. Entonces, si tienes 242, agrega dos más.
$N_3$ = 244.
Mejor. Al menos es posible. Pero todavía está muy lejos del número real de 271.
Método 4: Espaciado promedio.
Este es el que funciona. Calcula la distancia promedio entre cada número de serie que tienes. Miras los espacios entre 3 y 7, entre 7 y 17 y así sucesivamente. También tienes en cuenta la brecha entre el 1 y tu primer número (3).
Matemáticamente se simplifica muy bien. Se toma el número más alto observado, se divide por el número de tanques capturados y se resta 1. Luego se suma ese espacio promedio al número más alto nuevamente.
$d \aproximadamente 15$.
Añade 15 a tu tanque más alto (242). Obtienes 257.
257 vs 271. No es perfecto, pero está increíblemente cerca en comparación con las otras conjeturas. Y en comparación con los informes de inteligencia estándar, este método era terriblemente preciso.
Por qué gana el método 4
¿Cómo se demuestra que el Método 4 es superior? Simulaciones.
Los matemáticos lo llaman Montecarlo. Ejecutas el mismo escenario miles de veces. Cambias el total verdadero $N$ cada vez. Tomas muestras aleatorias. Tú compruebas la propagación.
Verás que el método 4 converge más rápido. La variación es menor. El margen de error se reduce. Los matemáticos aliados no sólo tuvieron suerte. Eligieron la mejor estrategia estadísticamente disponible.
Las guerras no se ganan sólo con armas. A veces se ganan mirando el número de serie de una transmisión y dándose cuenta de que el enemigo está produciendo menos tanques de los que se temía.
