Математика, яка допомогла виграти Другу світову війну
Операція “Нептун” (в рамках “Оверлорда”) – це не тільки історія про мужність. Це історія даних. Коли сили союзників вийшли на пляжі Нормандії, вони зіштовхнулися із невідомою кількістю німецької бронетехніки. Більш сучасні танки. Більш складні у знищенні. Служби розвідки США, Великобританії та Канади зіткнулися з проблемою: їм потрібні були дані про темпи виробництва.
Вони звернулися до математиків.
Не до генералів. До статистики.
Секрет серійних номерів
На початку війни союзники захопили кілька німецьких танків. Вони розібрали їх до гвинтика. Під час огляду нутрощів вони знайшли корисну деталь: серійні номери.
Вони були випадковими. Номери шасі були розподілені хаотично та неохайно. Але ж трансмісії? Номінальні номери йшли по порядку. Кріплення гармат? Теж послідовні. Навіть опорні ковзанки мали пронумеровані по порядку елементи. Ця маленька деталь змінила все. Проаналізувавши ці цифри, експерти спромоглися оцінити щомісячні обсяги виробництва. Їхні результати перевершували всі інші розвідувальні оцінки на голову.
«Математичні результати для так званої “проблеми німецького танка” виявилися значно ближчими до істини».
Робимо математику
Давайте уявимо. Припустимо, у нацистів є $N$ = 271 танк. Ви цього не знаєте. Ви захоплюєте 15 штук. Ось їхні номери: 3, 7, 3, 17, … до 242.
Ви знаєте, що танків як мінімум 271. Стоп — насправді найвищий номер 242, отже, ви знаєте, що танків як мінімум стільки ж. Але, напевно, більше. Як здогадатися про загальну кількість?
Існує чотири методи.
Метод 1: Медіана.
Беремо середнє число. У списку з 15 значень восьмим буде ваш орієнтир. Для нашого прикладу це 116. Якщо ця невелика вибірка ідеально відображає загальну картину, ви множите її на два і віднімає одиницю. $ N_1 $ = 231.
Погана здогад. Найвищий номер танка, який ми бачили, – 242. Ви вгадали 231 всього? Це неможливо.
Метод 2: Середнє арифметичне.
Складаємо усі 15 захоплених номерів. Ділимо на 15. Отримуємо середнє значення 119. Помножуємо на два, віднімаємо одиницю.
$ N_2 $ = 237.
Також неможливо. Чому? Тому що середнє значення тягне результат униз. Викиди спотворюють картину. Цей метод провалюється, оскільки ігнорує верхню межу.
Метод 3: Розрив на кінці.
Дивимось на найнижчий номер. Це 3. Отже, перед ним були два танки (1 та 2). Припускаємо, що такий самий розрив існує після найвищого номера. Отже, якщо у вас 242, додаємо ще дві.
$ N_3 $ = 244.
Краще. Принаймні це можливо. Але все ще дуже відрізняється від реального числа 271.
Метод 4: Середня відстань.
Ось той спосіб, який працює. Розраховуємо середню відстань між кожним серійним номером, який ми маємо. Ми дивимося на розриви між 3 та 7, між 7 та 17 тощо. Ми також враховуємо розрив від 1 до нашого першого номера (3).
Математично це спрощується красиво. Ви берете найбільший номер, що спостерігається, ділите його на кількість захоплених танків і вичитаєте 1. Потім додаєте цю середню відстань до найвищого номера ще раз.
$d \approx 15$.
Додаємо 15 до найвищого номеру танка (242). Отримуємо 257.
257 проти 271. Не ідеально, але неймовірно близько порівняно з іншими припущеннями. І в порівнянні зі стандартними розвідувальними повідомленнями цей метод був точним.
Чому перемагає Метод 4
Як довести, що Метод 4 перевершує інші? симуляції.
Математики називають це методом Монте-Карло. Ви запускаєте один і той же сценарій тисячі разів. Щоразу змінюєте справжнє загальне число $N$. Берете випадкові вибірки. Перевіряєте розкид даних.
Ви знайдете, що Метод 4 сходиться швидше. Дисперсія менша. Похибка скорочується. Математики союзників не просто пощастило. Вони обрали найкращу статистичну стратегію з доступних.
Війни виграються не лише зброєю. Іноді їх виграють, глянувши на серійний номер трансмісії та зрозумівши, що противник виробляє менше танків, ніж це лякало.
