Перестаньте сприймати можливість як простий список шансів. У реальному світі безперервних даних все влаштовано складніше: події не просто відбуваються чи не відбуваються. Вони є у вигляді спектра. Щоб зрозуміти цей спектр, статистики використовують функцію щільності ймовірності (Probability Density Function, PDF).
Звучить страшно. Насправді, це не так.
У своїй основі PDF це просто карта. Вона показує, де значення, швидше за все, будуть зосереджені, де вони рідкісні. Графік цієї функції є кривою, що ширяє над горизонтальною віссю. Загальна площа під цією кривою завжди дорівнює 1. Це не випадкове правило. Це математична потреба. Площа є 100% всіх можливих результатів.
Чому площа дорівнює ймовірності
Тут більшість людей застряє. Ви не дивіться на висоту кривої, щоб знайти ймовірність. Висота – це щільність. Площа – це ймовірність.
Якщо ви хочете дізнатися про шанс того, що результат потрапить між двома конкретними значеннями, ви обчислюєте площу під кривою між цими точками. Ця площа і є ймовірність.
Кожна випадкова величина пов’язані з своєю функцією щільності ймовірності.
Розглянемо нормальний розподіл. Ви знаєте його як «дзвін». Ця дзвоноподібна форма і є PDF для даної величини. Пік у середині показує, де значення з найбільшою ймовірністю виявляться. «Хвости», що йдуть до нескінченності, показують, де ймовірність стає меншою, але ніколи не дорівнює нулю остаточно.
Розбір компонентів
Щоб дійсно використовувати PDF, потрібно зрозуміти три основні обмеження:
- Безперервність: На відміну від дискретних величин (наприклад, кидок кубика), безперервні величини можуть набувати будь-якого значення в межах діапазону. Час, вага та зростання – це безперервні величини. PDF працює з цією плавністю.
- Невід’ємність: Крива ніколи не опускається нижче горизонтальної осі. Щільність ймовірності може бути негативною.
- Загальна площа = 1: Вся область під кривою в сумі дає 1. Якби це було не так, математична модель впала б. Імовірності виявились би або менше 100% (неможливі результати), або більше 100% (магія).
Коли використовувати PDF
Ви звертаєтесь до функції густини ймовірності, коли маєте справу з безперервними випадковими величинами. Якщо ви вимірюєте щось, що можна нескінченно ділити на частини, ви, швидше за все, маєте справу з PDF.
Наприклад, якщо ви хочете дізнатися ймовірність того, що виготовлена деталь важитиме між 4,99 і 5,01 грама, ви інтегруєте PDF у цьому діапазоні. Ви не просто ворожите. Ви вимірюєте площу під кривою.
Приклад нормального розподілу
Найпоширеніша PDF, з якою ви зіткнетеся, – це нормальний розподіл. Воно всюди. Зростання людини. Результати випробувань. Помилки вимірів.
Дзвонова крива симетрична. Середнє, медіана та мода знаходяться в одній точці. Але PDF робить більше, ніж показує форму. Вона кількісно оцінює ризик. Чим крутіший спад у «хвостах», тим більш передбачуваною є величина. Більш плоскі криві означають більшу волатильність.
Поширені помилки
Багато хто плутає значення функції з ймовірністю. Якщо значення PDF у певній точці дорівнює 0,5, це не означає, що ймовірність настання саме цього значення становить 50%. У безперервному розподілі ймовірність будь-якого точного одиничного значення технічно
