Přestaňte myslet na pravděpodobnost jen jako na seznam šancí. V reálném světě nepřetržitých dat jsou věci složitější: události se jen tak nedějí nebo nedějí. Existují jako spektrum. K pochopení tohoto spektra statistici používají funkci hustoty pravděpodobnosti (PDF).
Zní to děsivě. Ve skutečnosti to není pravda.
V jádru je PDF jen mapa. Ukazuje, kde se hodnoty pravděpodobně soustředí a kde jsou řídké. Grafem této funkce je křivka vznášející se nad vodorovnou osou. Celková plocha pod touto křivkou je vždy přesně 1. Toto není libovolné pravidlo. To je matematická nutnost. Oblast představuje 100 % všech možných výsledků.
Proč se plocha rovná pravděpodobnosti
Tady se většina lidí zasekne. Nedíváte se na výšku křivky, abyste našli pravděpodobnost. Výška je hustota. Oblast je pravděpodobnost.
Pokud chcete znát pravděpodobnost, že výsledek spadne mezi dvě konkrétní hodnoty, vypočítáte plochu pod křivkou mezi těmito body. Tato oblast je pravděpodobnost.
Každá náhodná veličina je spojena s vlastní funkcí hustoty pravděpodobnosti.
Uvažujme normální rozdělení. Znáte to jako “zvonek”. Tento tvar zvonu je PDF pro tuto hodnotu. Vrchol uprostřed ukazuje, kde hodnoty s největší pravděpodobností skončí. „Ocasy“ jdoucí do nekonečna ukazují, kde se pravděpodobnost snižuje, ale nikdy se zcela nerovná nule.
Analýza komponent
Chcete-li skutečně používat PDF, musíte pochopit tři hlavní omezení:
- Kontinuita: Na rozdíl od diskrétních veličin (jako je házení kostkou) mohou spojité veličiny nabývat jakékoli hodnoty v rámci rozsahu. Čas, hmotnost a výška jsou spojité veličiny. PDF pracuje s touto plynulostí.
- Nezápornost: Křivka nikdy neklesne pod vodorovnou osu. Hustota pravděpodobnosti nemůže být záporná.
- Celková plocha = 1: Celková plocha pod křivkou se rovná 1. Pokud by to nebyla pravda, matematický model by se zhroutil. Pravděpodobnosti by byly buď menší než 100 % (nemožné výsledky) nebo větší než 100 % (kouzlo).
Kdy použít PDF
Při práci se spojitými náhodnými proměnnými odkazujete na funkci hustoty pravděpodobnosti. Pokud měříte něco, co se dá nekonečně dělit na části, máte s největší pravděpodobností co do činění s PDF.
Pokud například chcete znát pravděpodobnost, že vyrobený díl bude vážit mezi 4,99 a 5,01 gramy, integrujete PDF v tomto rozsahu. Jen nehádáš. Změříte plochu pod křivkou.
Příklad normálního rozdělení
Nejběžnější PDF, se kterým se setkáte, je normální distribuce. Je to všude. Lidský růst. Výsledky testů. Chyby měření.
Zvonovitá křivka je symetrická. Průměr, medián a modus jsou ve stejném bodě. Ale PDF umí víc než jen ukázat formulář. Kvantifikuje riziko. Čím strmější je pokles ocasů, tím je hodnota předvídatelnější. Plošší křivky znamenají větší volatilitu.
Běžné mylné představy
Mnoho lidí si plete hodnotu funkce s pravděpodobností samotnou. Pokud je hodnota PDF v určitém bodě 0,5, neznamená to, že existuje 50% pravděpodobnost výskytu této konkrétní hodnoty. V spojitém rozdělení je pravděpodobnost jakékoli přesné jednotlivé hodnoty technicky
