Bei der Operation Overlord ging es nicht nur um Tapferkeit. Es ging um Daten. Als die alliierten Streitkräfte die Strände der Normandie erreichten, standen sie einer unbekannten Menge Nazi-Panzerung gegenüber. Neuere Panzer. Schwerer zu schlagen. Die Geheimdienste der USA, Großbritanniens und Kanadas hatten ein Problem: Sie brauchten Produktionszahlen.
Sie wandten sich an Mathematiker.
Keine Generäle. Statistiker.
Das Geheimnis der Seriennummer
Zu Beginn des Krieges erbeuteten die Alliierten einige deutsche Panzer. Sie haben sie auseinandergerissen. Als sie hineinschauten, fanden sie etwas Nützliches: Seriennummern.
Sie waren nicht zufällig. Fahrgestellnummern waren überall verstreut, unordentlich. Aber die Übertragungen? Sequentiell. Die Waffenhalterungen? Sequentiell. Sogar die Straßenräder waren mit Nummern versehen. Dieses kleine Detail hat alles verändert. Durch die Berechnung dieser Zahlen könnten Experten die monatliche Gesamtproduktion abschätzen. Ihre Ergebnisse übertrafen jede andere Geheimdienstvermutung um Längen.
„Die mathematischen Ergebnisse für dieses sogenannte ‚deutsche Panzerproblem‘ lagen deutlich näher an der Wahrheit.“
Mathe machen
Machen wir mal so. Angenommen, die Nazis hätten $N$ = 271 Panzer. Das wissen Sie nicht. Sie erfassen 15. Hier sind ihre Zahlen: 3, 7, 3, 17, …, bis hin zu 242.
Sie wissen, dass es mindestens 271 sind. Warten Sie mal – der Höchstwert liegt bei 242, also wissen Sie, dass es mindestens so viele sind. Aber wahrscheinlich mehr. Wie schätzen Sie die Gesamtsumme ein?
Es gibt vier Methoden.
Methode 1: Der Median.
Nimm die mittlere Zahl. In einer Liste mit 15 Werten ist der achte Wert Ihr Anker. Für unser Beispiel ist das 116. Wenn diese kleine Stichprobe das Gesamtbild perfekt widerspiegelt, verdoppeln Sie sie und subtrahieren eins. $N_1$ = 231.
Schlechte Vermutung. Der höchste Panzer, den wir gesehen haben, war 242. Sie haben insgesamt 231 erraten? Das ist unmöglich.
Methode 2: Der Mittelwert.
Addieren Sie alle 15 erfassten Zahlen. Teilen Sie durch 15. Sie erhalten einen Durchschnitt von 119. Verdoppeln Sie es und subtrahieren Sie eins.
$N_2$ = 237.
Auch unmöglich. Warum? Denn die Gemeinheit zieht einen runter. Ausreißer bringen es durcheinander. Diese Methode schlägt fehl, da sie die Obergrenze ignoriert.
Methode 3: Die Lücke am Ende.
Schauen Sie sich die niedrigste Zahl an. Es ist 3. Das bedeutet, dass zwei Panzer davor waren (1 und 2). Nehmen Sie an, dass nach der höchsten Zahl dieselbe Lücke besteht. Wenn Sie also bei 242 sind, fügen Sie zwei weitere hinzu.
$N_3$ = 244.
Besser. Zumindest ist es möglich. Aber immer noch weit von der tatsächlichen Zahl von 271 entfernt.
Methode 4: Durchschnittlicher Abstand.
Dies ist diejenige, die funktioniert. Berechnen Sie den durchschnittlichen Abstand zwischen den einzelnen Seriennummern, die Sie haben. Sie betrachten die Lücken zwischen 3 und 7, zwischen 7 und 17 und so weiter. Sie berücksichtigen auch die Lücke von 1 zu Ihrer ersten Zahl (3).
Mathematisch vereinfacht es sich gut. Sie nehmen die höchste beobachtete Zahl, dividieren sie durch die Anzahl der erbeuteten Panzer und subtrahieren 1. Dann addieren Sie diesen durchschnittlichen Abstand erneut zur höchsten Zahl.
$d \ca. 15$.
Addiere 15 zu deinem höchsten Tank (242). Sie erhalten 257.
257 vs. 271. Nicht perfekt, aber im Vergleich zu den anderen Schätzungen unglaublich nah dran. Und im Vergleich zu Standard-Geheimdienstberichten war diese Methode erschreckend genau.
Warum Methode 4 gewinnt
Wie beweisen Sie, dass Methode 4 überlegen ist? Simulationen.
Mathematiker nennen dies Monte Carlo. Sie führen dasselbe Szenario tausende Male durch. Sie ändern jedes Mal die wahre Gesamtsumme von $N$. Sie nehmen Stichproben. Sie überprüfen die Ausbreitung.
Sie werden feststellen, dass Methode 4 schneller konvergiert. Die Varianz ist geringer. Die Fehlerquote schrumpft. Alliierte Mathematiker hatten nicht nur Glück. Sie wählten die statistisch beste verfügbare Strategie.
Kriege werden nicht allein durch Waffen gewonnen. Manchmal gewinnt man sie, wenn man sich die Seriennummer eines Getriebes ansieht und erkennt, dass der Feind weniger Panzer produziert als befürchtet.
