Operatie Overlord ging niet alleen over moed. Het ging over gegevens. Toen de geallieerde troepen de stranden van Normandië bereikten, kregen ze te maken met een onbekende hoeveelheid nazi-bepantsering. Nieuwere tanks. Moeilijker te verslaan. De Amerikaanse, Britse en Canadese inlichtingendiensten hadden een probleem: ze hadden productieaantallen nodig.
Ze wendden zich tot wiskundigen.
Geen generaals. Statistici.
Het serienummergeheim
In het begin van de oorlog veroverden de geallieerden enkele Duitse tanks. Ze hebben ze uit elkaar gescheurd. Toen ze naar binnen keken, vonden ze iets nuttigs: serienummers.
Ze waren niet willekeurig. Chassisnummers stonden overal, rommelig. Maar de uitzendingen? Sequentieel. De wapensteunen? Sequentieel. Zelfs op de wielen stonden de nummers in orde. Dit kleine detail veranderde alles. Door deze cijfers te kraken konden experts de totale maandelijkse productie schatten. Hun resultaten versloegen zonder twijfel elke andere intelligentie-gok.
“De wiskundige resultaten voor dit zogenaamde ‘Duitse tankprobleem’ lagen aanzienlijk dichter bij de waarheid.”
De wiskunde doen
Laten we doen alsof. Stel dat de nazi’s $N$ = 271 tanks hebben. Dat weet je niet. Je vangt er 15. Hier zijn hun nummers: 3, 7, 3, 17, …, helemaal tot aan 242.
Je weet dat het er minstens 271 zijn. Wacht even: het hoogste is 242, dus je weet dat het er minstens zoveel zijn. Maar waarschijnlijk meer. Hoe raad jij het totaal?
Er bestaan vier methoden.
Methode 1: De mediaan.
Neem het middelste getal. In een lijst van 15 is de achtste waarde uw anker. Voor ons voorbeeld is dat 116. Als dit kleine voorbeeld perfect het grote geheel weerspiegelt, verdubbel je het en trek je er één af. $N_1$ = 231.
Slechte gok. De hoogste tank die we zagen was 242. Je raadde in totaal 231? Dat is onmogelijk.
Methode 2: Het gemiddelde.
Tel alle 15 vastgelegde nummers bij elkaar op. Deel door 15. Je krijgt een gemiddelde van 119. Verdubbel het, trek er één af.
$N_2$ = 237.
Ook onmogelijk. Waarom? Omdat het gemiddelde je naar beneden trekt. Uitschieters verpesten het. Deze methode mislukt omdat het plafond wordt genegeerd.
Methode 3: De kloof aan het einde.
Kijk naar het laagste getal. Het is 3. Dat betekent dat er twee tanks voor zijn gekomen (1 en 2). Neem aan dat hetzelfde gat ontstaat na het hoogste getal. Dus als je op 242 zit, voeg er dan nog twee toe.
$N_3$ = 244.
Beter. Het is tenminste mogelijk. Maar nog steeds ver verwijderd van het werkelijke aantal van 271.
Methode 4: Gemiddelde afstand.
Dit is degene die werkt. Bereken de gemiddelde afstand tussen elk serienummer dat u heeft. Je kijkt naar de gaten tussen 3 en 7, tussen 7 en 17 enzovoort. Je houdt ook rekening met het gat van 1 tot je eerste getal (3).
Wiskundig gezien vereenvoudigt het aardig. Je neemt het hoogste waargenomen getal, deelt dit door het aantal gevangen tanks en trekt er 1 af. Tel vervolgens die gemiddelde afstand weer op bij het hoogste getal.
$d \ongeveer 15$.
Voeg 15 toe aan je hoogste tank (242). Je krijgt 257.
257 versus 271. Niet perfect, maar ongelooflijk dichtbij vergeleken met de andere gissingen. En vergeleken met standaard inlichtingenrapporten was deze methode angstaanjagend nauwkeurig.
Waarom methode 4 wint
Hoe bewijs je dat methode 4 superieur is? Simulaties.
Wiskundigen noemen dit Monte Carlo. Je voert hetzelfde scenario duizenden keren uit. Je verandert elke keer het werkelijke totaal $N$. Je neemt willekeurige monsters. Je controleert de spreiding.
Je zult merken dat Methode 4 sneller convergeert. De variantie is kleiner. De foutenmarge wordt kleiner. Geallieerde wiskundigen hadden niet alleen geluk. Ze kozen de statistisch gezien beste beschikbare strategie.
Oorlogen worden niet alleen met wapens gewonnen. Soms worden ze gewonnen door naar een serienummer op een transmissie te kijken en te beseffen dat de vijand minder tanks produceert dan gevreesd.
