Operacja Neptun (w ramach Overlord) to nie tylko historia odwagi. To opowieść o danych. Gdy siły alianckie uderzyły w plaże Normandii, napotkały nieznaną liczbę niemieckich pojazdów opancerzonych. Bardziej nowoczesne czołgi. Trudniejsze do zniszczenia. Służby wywiadowcze Stanów Zjednoczonych, Wielkiej Brytanii i Kanady stanęły przed problemem: potrzebowały danych o wielkości produkcji.
Zwrócili się do matematyków.
Nie dla generałów. Do statystyków.
Sekret numerów seryjnych
Na początku wojny alianci zdobyli kilka niemieckich czołgów. Rozebrali je aż do śruby. Badając wnętrze, znaleźli przydatny szczegół: numery seryjne.
Nie były przypadkowe. Numery podwozi zostały rozłożone chaotycznie i niechlujnie. Ale transmisje? Numery nominalne były w porządku. Uchwyty na broń? Również spójne. Nawet koła jezdne miały elementy ponumerowane w odpowiedniej kolejności. Ten mały szczegół zmienił wszystko. Po przeanalizowaniu tych liczb eksperci byli w stanie oszacować miesięczne wielkości produkcji. Ich wyniki przewyższały wszystkie inne szacunki wywiadu.
„Wyniki matematyczne dla tak zwanego „problemu czołgów niemieckich” okazały się znacznie bliższe prawdy.”
Wykonywanie obliczeń
Wyobraźmy sobie. Załóżmy, że naziści mają $N$ = 271 czołgów. Nie wiesz tego. Zbierasz 15 sztuk. Oto ich liczby: 3, 7, 3, 17,… aż do 242.
Wiesz, że jest co najmniej 271 czołgów. Stop – najwyższa liczba to tak naprawdę 242, co oznacza, że wiesz, że jest co najmniej tyle czołgów. Ale prawdopodobnie więcej. Jak odgadnąć całkowitą liczbę?
Istnieją cztery metody.
Metoda 1: Mediana.
Weźmy średnią liczbę. Na liście 15 wartości ósma wartość będzie Twoim punktem orientacyjnym. W naszym przykładzie jest to 116. Jeśli ta mała próbka doskonale odzwierciedla ogólny obraz, należy ją pomnożyć przez dwa i odjąć jeden. $N_1$ = 231.
Złe przypuszczenie. Najwyższy numer czołgu, jaki widzieliśmy, to 242. Czy w sumie zgadliście, że jest ich 231? To niemożliwe.
Metoda 2: Średnia arytmetyczna.
Sumujemy wszystkie 15 przechwyconych liczb. Podziel przez 15. Otrzymujemy średnią wartość 119. Pomnóż przez dwa, odejmij jeden.
$N_2$ = 237.
Również niemożliwe. Dlaczego? Ponieważ średnia wartość obniża wynik. Wartości odstające zniekształcają obraz. Ta metoda kończy się niepowodzeniem, ponieważ ignoruje górną granicę.
Metoda 3: Zakończenie przerwy.
Patrzymy na najniższą liczbę. To jest 3. Oznacza to, że przed nim znajdowały się dwa czołgi (1 i 2). Zakładamy, że po największej liczbie istnieje taka sama przerwa. Jeśli więc masz 242, dodaj jeszcze dwa.
$N_3$ = 244.
Lepiej. Przynajmniej jest to możliwe. Ale wciąż bardzo różni się od prawdziwej liczby 271.
Metoda 4: Średni dystans.
Oto metoda, która działa. Obliczamy średnią odległość pomiędzy każdym numerem seryjnym, jaki posiadamy. Patrzymy na luki między 3 a 7, między 7 a 17 i tak dalej. Bierzemy również pod uwagę różnicę od 1 do naszej pierwszej liczby (3).
Matematycznie jest to pięknie uproszczone. Bierzesz największą zaobserwowaną liczbę, dzielisz ją przez liczbę zdobytych czołgów i odejmujesz 1. Następnie ponownie dodajesz tę średnią odległość do najwyższej liczby.
$d\około 15$.
Dodaj 15 do najwyższego numeru czołgu (242). Dostajemy 257.
257 vs 271. Nie idealnie, ale niesamowicie blisko w porównaniu z innymi przypuszczeniami. W porównaniu ze standardowymi raportami wywiadowczymi metoda ta była przerażająco dokładna.
Dlaczego metoda 4 wygrywa
Jak udowodnić, że Metoda 4 jest lepsza od pozostałych? Symulacje.
Matematycy nazywają to metodą Monte Carlo. Uruchamiasz ten sam skrypt tysiące razy. Za każdym razem, gdy zmieniasz prawdziwą liczbę całkowitą $N$. Pobierz losowe próbki. Sprawdzanie rozprzestrzeniania się danych.
Przekonasz się, że metoda 4 zbiega się szybciej. Wariancja jest mniejsza. Błąd jest zmniejszony. Matematycy alianccy nie mieli po prostu szczęścia. Wybrali najlepszą dostępną strategię statystyczną.
Wojen nie wygrywa się tylko bronią. Czasami wygrywa się, patrząc na numer seryjny skrzyni biegów i zdając sobie sprawę, że wróg produkuje mniej czołgów, niż się obawiano.
