La projection géométrique consiste moins à dessiner des images qu’à définir des relations. Il agit comme un pont, créant une correspondance entre les points d’une figure et une surface ou une ligne. Considérez-le comme un moyen systématique de traduire des données d’un espace à un autre. Dans les projections planes, vous prenez une série de points sur un plan et les mappez sur un deuxième plan. Pour ce faire, vous choisissez un point focal ou une origine. À partir de cette origine, vous construisez des lignes qui passent par les points initiaux et atteignent le deuxième plan. Cette cartographie spécifique est connue sous le nom de projection centrale.
Les chiffres qui en résultent sont, dit-on, en perspective. La nouvelle image n’est que la projection de la figure originale. Mais la géométrie change en fonction de la façon dont vous tracez ces lignes. Si les rayons sont parallèles au lieu de converger vers un seul point, la projection est dite parallèle. Si ces rayons parallèles frappent le plan cible selon un angle droit parfait, vous obtenez une projection orthogonale. L’orientation des avions compte également. Si les deux plans sont parallèles entre eux, les configurations de points restent identiques. Si ce n’est pas le cas, les formes se déformeront.
Comment fonctionne la projection stéréographique sur une sphère
Un deuxième type courant est la projection stéréographique. Cela déplace les points d’une sphère vers un plan. La méthode la plus simple consiste à choisir un plan qui traverse le centre de la sphère. Vous projetez ensuite les points de la surface le long de normales ou de lignes perpendiculaires à ce plan. Vous n’êtes pas obligé de garder l’avion centré. Le calcul fonctionne quelle que soit l’attitude de l’avion par rapport à la sphère.
Mathématiquement, il s’agit d’une cartographie de points de sphère sur des points plans. Lorsqu’une correspondance bijective existe, la carte est dite conforme. Cela signifie qu’il préserve les formes locales, même s’il change de taille.
Pourquoi la géométrie projective est importante
La géométrie projective est la discipline entièrement construite autour de ces concepts. Il étudie les projections et les propriétés des configurations projectives. Il demande comment les formes se comportent lorsqu’elles sont vues sous différents angles ou mappées sur différentes surfaces. Ce domaine ne se limite pas aux chiffres statiques ; il s’intéresse aux invariants qui survivent à la traduction.
“Les figures mises en correspondance par la projection sont dites en perspective.”
Comprendre ces mappages aide à expliquer comment nous visualisons des objets tridimensionnels sur des surfaces bidimensionnelles. C’est la base de nombreuses applications pratiques, de l’infographie à la cartographie.
