Trzymasz linijkę. Obserwujesz ruch wskazówki sekundowej. Mierzysz odległość do najbliższego przystanku autobusowego. W każdym z tych momentów masz do czynienia z liczbami rzeczywistymi.
Są podstawą ciągłego pomiaru. Rozmiar. Czas. Waga. Przestrzeń.
Stanowi to wyraźny kontrast w stosunku do liczb naturalnych – 1, 2, 3 – których używamy do liczenia dyskretnych obiektów. Możesz mieć trzy jabłka. Ale nie możesz mieć 2,5 jabłka, nie przecinając jednego. Jednak czas płynie. Nie przeskakuje przez całe sekundy. To się ślizga. Liczby rzeczywiste oddają ten poślizg.
Znaczenie nazwy numeru
Słowo ważny to nie tylko etykieta. To jest różnica. Oddziela te mierzalne wielkości od liczb urojonych obejmujących i (pierwiastek kwadratowy z -1).
Liczby zespolone, takie jak 1 + i, składają się z dwóch części. Prawdziwa część. Wyimaginowana część.
Ale liczby rzeczywiste istnieją same w sobie. Obejmują one wszystko, co można wykreślić na linii ciągłej rozciągającej się od ujemnej nieskończoności do dodatniej nieskończoności. Obejmuje to:
* Dodatnie i ujemne liczby całkowite
* Ułamki tych liczb całkowitych (liczby wymierne)
* Liczby wymierne
Kluczową różnicą jest to, jak zachowują się jako ułamki dziesiętne.
Racjonalne a irracjonalne: zabawa wzorami
Liczby wymierne zawsze mają wzór. Ich rozwinięcia dziesiętne są okresowe.
Spójrz na 1/6. Zamienia się na 0,16666…. Liczba 6 powtarza się w nieskończoność.
Spójrz na 2/7. Zamienia się w 0,285714285714…. Grupa 285714 jest powtarzana.
Jeśli znajdziesz powtarzający się blok cyfr, liczba jest wymierna.
Liczby niewymierne naruszają tę zasadę. Ich ułamki dziesiętne trwają w nieskończoność, nigdy nie kończąc się powtarzalnym cyklem.
Weź 0,42442444244442…. Za każdym razem liczba czwórek wzrasta. Żaden blok się nie powtarza. To liczba niewymierna.
Najbardziej znanymi przykładami są algebraiczne liczby niewymierne. Są to pierwiastki równań algebraicznych o współczynnikach całkowitych. Najprostszy przypadek? x² – 2 = 0. Rozwiązaniem jest √2. Nie da się tego zapisać w postaci ułamka zwykłego. To irracjonalne.
Następnie są liczby przestępne. Nie są one rozwiązaniami takich równań algebraicznych. π i e należą do tej kategorii. Często można je przedstawić jako nieskończone sumy ułamków. Twój kalkulator wyświetla je jako ułamki dziesiętne, ale te ułamki dziesiętne są jedynie przybliżeniem nieskończonej, nieokresowej sumy.
Problem z kompletnością
Dlaczego ta różnica ma znaczenie? Wszystko sprowadza się do właściwości zwanej kompletnością.
Liczby rzeczywiste są kompletne. Każdy niepusty zbiór, który ma górną granicę, ma najmniejszą taką granicę. To jest granica.
Liczby wymierne nie są kompletne.
Rozważmy zbiór wszystkich liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze niż 2. Wiemy, że √2 jest granicą. Ale √2 nie jest liczbą wymierną. Zatem w zbiorze liczb wymiernych nie ma „najmniejszej górnej granicy”. Jest luka. Dziura na osi liczbowej.
Liczby rzeczywiste wypełniają tę lukę. Zapewniają ciągłe ramy potrzebne do analizy matematycznej, fizyki i inżynierii. Bez kompletności załamuje się matematyka zmian.
Różne rozmiary nieskończoności
Tutaj robi się ciekawie.
Zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne są nieskończone. Ale nie wszystkie nieskończoności są równe.
Nieskończoność liczb niewymiernych jest „większa” niż nieskończoność