Prawdopodobnie już to widziałeś. Gładka, symetryczna krzywa dzwonowa, która pojawia się we wszystkim, od wyników standardowych testów po raporty kontroli jakości. To jest rozkład normalny. Znany również jako rozkład Gaussa. Jest to najczęstszy sposób zachowania niezależnych zmiennych losowych.
Krzywą wyznaczają dwie podstawowe liczby. Wartość średnia znajduje się w najwyższym punkcie. To jest średnia arytmetyczna. Wykres jest doskonale odzwierciedlony wokół tego punktu centralnego. Potem jest odchylenie standardowe. Liczba ta określa, jak szeroka lub wąska staje się krzywa. Niskie odchylenie standardowe tworzy stromy, wysoki wykres. Duże odchylenie standardowe sprawia, że jest płaska i szeroka.
Podstawa matematyczna opiera się na funkcji wykładniczej. We wzorze zastosowano e, który jest w przybliżeniu równy 2,718. Wykorzystuje także Twoją średnią (μ ) i odchylenie standardowe (σ ). Całkowite pole pod tą krzywą jest zawsze równe jeden. To nie jest przypadek. To jest zamierzone. Ponieważ obszar jest znormalizowany do jedności, prawdopodobieństwa można bezpośrednio odczytać z przestrzeni pod linią. Obszar 0,5 oznacza prawdopodobieństwo 50%.
Historycznie rzecz biorąc, obliczenie tych obszarów wymagało złożonej analizy matematycznej. Większość ludzi nie miała na to czasu. Dlatego w XIX wieku statystycy stworzyli tabele. Zaprojektowano je dla standardowego rozkładu normalnego. Jest to rozkład, w którym średnia wynosi zero, a odchylenie standardowe wynosi jeden. Jeśli Twoje dane nie mieściły się w tych liczbach, należało je przeskalować. Odejmujesz średnią. Następnie podziel przez odchylenie standardowe. Wzór wygląda następująco: (x – μ ) / σ.
Kalkulatory w dużej mierze zastąpiły papierowe tabele. Wpisujesz swoje numery i otrzymujesz natychmiastową odpowiedź. Jednak koncepcja ta pozostaje kluczowa dla zrozumienia teorii prawdopodobieństwa.
Nazwa „Gaussian” pochodzi od Carla Friedricha Gaussa. Był niemieckim matematykiem. W 1809 roku opracował funkcję wykładniczą z dwoma parametrami. Próbował zrozumieć błędy obserwacji astronomicznych. Praca ta pomogła mu stworzyć prawo błędów obserwacyjnych. Udoskonaliła także metodę aproksymacji najmniejszych kwadratów.
Kolejnym wczesnym użytkownikiem był James Clerk Maxwell. Był brytyjskim fizykiem. W 1859 roku użył tego rozkładu do opisania prędkości cząsteczek. Jego dzieło stało się później prawem dystrybucji Maxwella-Boltzmanna.
Na długo przed Gaussem proces ten zainicjował Abraham de Moivre. W swojej książce The Doctrine of Chances z 1718 roku zauważył coś interesującego. Prawdopodobieństwa dyskretnych zdarzeń — na przykład rzutu monetą lub rzutu kostką — można przybliżyć za pomocą krzywej wykładniczej. Pierre-Simon Laplace rozwinął tę ideę dalej. W swojej pracy z 1812 r., Analityczna teoria prawdopodobieństwa, uogólnił ideę de Moivre’a. Stworzył to, co obecnie nazywamy centralnym twierdzeniem granicznym.
To twierdzenie ma potężną moc. Udowodniła, że wraz ze wzrostem liczebności próby prawie wszystkie niezależne zmienne losowe zbiegają się do rozkładu normalnego. Podobieństwa pojawiają się szybko. Odkrycie to umożliwiło matematykom rozwiązywanie problemów za pomocą analizy matematycznej, które wcześniej były niemożliwe. Zamieniło to dyskretne problemy w ciągłe. Dzięki niemu trudne do rozwiązania problemy stały się możliwe do rozwiązania.
Dlaczego więc jest to dla Ciebie ważne? Jeśli zdecydujesz się na kurs statystyki, będziesz z niego korzystać codziennie. Jeżeli jesteś badaczem, Twoje dane najprawdopodobniej będą zgodne z tym wzorcem, jeśli nie. To jest wszędzie. Jest to domyślne założenie wielu testów statystycznych.
Piękno rozkładu normalnego polega na jego wszechstronności. Nie obchodzi go, co mierzysz. Jedyne, na czym mu zależy, to to, żebyś mierzył zmienne niezależne. Centralne twierdzenie graniczne zapewnia, że nawet jeśli dane wejściowe są chaotyczne, średnie wygładzą się, tworząc krzywą w kształcie dzwonu. Dlatego właśnie możemy przewidywać duże grupy na podstawie mniejszych próbek.
Nie bez powodu ta krzywa jest tak znajoma. To nie tylko ciekawostka matematyczna. Jest to podstawowa właściwość losowości. Kiedy zbierze się wystarczająco dużo niezależnych czynników, wynik będzie miał tę postać. To trochę jak entropia. Chaos prowadzi do przewidywalnych wzorców.
Czy Twoje dane pasują do krzywej? To jest pierwsze pytanie, które powinieneś zadać. Jeśli tak, masz narzędzia umożliwiające łatwą analizę. Jeśli nie, potrzebujesz innych metod. Rozkład normalny nie jest prawem natury. To jest model. Bardzo przydatny model. Ale czasami rzeczywistość nie pasuje do dzwonka.
Polegamy na tych modelach, aby zrozumieć chaos. Centralne twierdzenie graniczne dało nam tę moc. Zamieniła niepewność w coś dającego się obliczyć. Gauss i Maxwell nie zamierzali stworzyć uniwersalnego narzędzia statystycznego. Chcieli po prostu zrozumieć gwiazdy i cząsteczki gazu. Ale ich praca ujawniła głębszą prawdę o tym, jak świat agreguje zdarzenia losowe.
Następnym razem, gdy zobaczysz krzywiznę dzwonu, przypomnij sobie tę historię. Przypomnij sobie monety de Moivre’a i twierdzenia Laplace’a. To nie tylko forma. To efekt wielowiekowych prób odnalezienia porządku w przypadkowości. Krzywa upraszcza kompleks. Pozwala nam przewidzieć to, co nieprzewidywalne.
Ale ostrzegaj. Prawdziwe dane rzadko są całkowicie normalne. Występuje skośność i kurtoza. Ogony są często cięższe niż przewiduje model. Rozkład normalny jest przybliżeniem. Potężne przybliżenie. Ale to wciąż przybliżenie. Zrozumienie jego ograniczeń jest równie ważne, jak zrozumienie jego zastosowania. Tutaj leży prawdziwe zrozumienie.
