Anda mungkin pernah melihatnya sebelumnya. Bentuk lonceng halus dan simetris yang muncul dalam segala hal mulai dari nilai ujian standar hingga laporan kendali mutu. Itu adalah distribusi normal. Juga dikenal sebagai distribusi Gaussian. Ini adalah cara paling umum berperilaku variabel acak independen.
Kurva ditentukan oleh dua angka utama. Rata-ratanya berada di atas. Ini adalah rata-rata. Grafik mencerminkan dirinya sendiri dengan sempurna di sekitar titik pusat ini. Maka Anda memiliki deviasi standar. Angka ini menentukan seberapa lebar atau sempit kurva tersebut. Deviasi standar yang kecil menghasilkan grafik yang curam dan tinggi. Yang besar membuatnya rata dan lebar.
Matematika di baliknya bergantung pada fungsi eksponensial. Rumusnya menggunakan e, yaitu kira-kira 2,718. Ini juga menggunakan mean (μ ) dan deviasi standar (σ ). Luas total di bawah kurva ini selalu sama dengan satu. Ini bukanlah suatu kebetulan. Itu memang disengaja. Karena luasnya dinormalisasi menjadi satu, Anda dapat membaca probabilitas langsung dari ruang di bawah garis. Area 0,5 berarti peluang 50%.
Secara historis, menghitung luas area ini memerlukan perhitungan yang berat. Kebanyakan orang tidak punya waktu untuk itu. Jadi, pada abad ke-19, para ahli statistik membuat tabel. Ini untuk distribusi normal standar. Di situlah meannya nol dan deviasi standarnya satu. Jika data Anda tidak cocok dengan angka tersebut, Anda harus mengubah skalanya. Anda mengurangi meannya. Kemudian bagi dengan standar deviasinya. Rumusnya seperti ini: (x – μ ) / σ.
Kalkulator sebagian besar telah mematikan tabel kertas tersebut. Anda memasukkan nomor Anda dan mendapatkan jawabannya secara instan. Namun konsep ini tetap penting untuk memahami teori probabilitas.
Nama “Gaussian” berasal dari Carl Friedrich Gauss. Dia adalah seorang matematikawan Jerman. Pada tahun 1809, ia mengembangkan fungsi eksponensial dua parameter. Dia mencoba memahami kesalahan dalam pengamatan astronomi. Karya ini membantunya menciptakan hukum kesalahan observasi. Ini juga memajukan metode pendekatan kuadrat terkecil.
Pengguna awal lainnya adalah James Clerk Maxwell. Dia adalah seorang fisikawan Inggris. Pada tahun 1859, ia menggunakan distribusi ini untuk menggambarkan kecepatan molekul. Karyanya kemudian menjadi hukum distribusi Maxwell-Boltmann.
Jauh sebelum Gauss, Abraham de Moivre menguasai bola. Dalam bukunya tahun 1718 Doctrine of Chances, dia memperhatikan sesuatu yang menarik. Probabilitas kejadian terpisah—seperti pelemparan koin atau pelemparan dadu—dapat diperkirakan dengan kurva eksponensial. Pierre-Simon Laplace mengambil langkah lebih jauh lagi. Dalam karyanya tahun 1812 Théorie analytique des probabilités, dia menggeneralisasi gagasan de Moivre. Dia menciptakan apa yang sekarang kita sebut teorema limit pusat.
Teorema ini sangat kuat. Hal ini membuktikan bahwa hampir semua variabel acak independen menyatu ke distribusi normal seiring dengan bertambahnya ukuran sampel Anda. Konvergensi terjadi dengan cepat. Penemuan ini memungkinkan ahli matematika untuk memecahkan masalah kalkulus yang sebelumnya tidak mungkin dilakukan. Hal ini mengubah permasalahan yang terpisah menjadi permasalahan yang berkesinambungan. Hal ini membuat masalah-masalah yang sulit diselesaikan dapat dikelola.
Jadi mengapa ini penting bagi Anda? Jika Anda mengambil kelas statistik, Anda akan menggunakannya setiap hari. Jika Anda seorang peneliti, kemungkinan besar data Anda akan mengikuti pola ini, kecuali jika Anda tidak melakukannya. Itu ada dimana-mana. Ini adalah asumsi default untuk banyak uji statistik.
Keindahan dari distribusi normal adalah universalitasnya. Tidak peduli apa yang Anda ukur. Yang penting Anda hanya mengukur variabel independen. Teorema batas pusat memastikan bahwa meskipun data mentah Anda berantakan, rata-ratanya akan mulus menjadi kurva lonceng. Inilah sebabnya kita dapat membuat prediksi mengenai kelompok besar berdasarkan sampel yang lebih kecil.
Ada alasan mengapa kurva ini begitu familiar. Ini bukan hanya keingintahuan matematis. Ini adalah sifat mendasar dari keacakan. Ketika cukup banyak faktor independen yang digabungkan, hasilnya cenderung ke arah ini. Ini seperti entropi. Gangguan mengarah pada pola yang dapat diprediksi.
Apakah data Anda sesuai dengan kurva? Itu adalah pertanyaan pertama yang harus Anda tanyakan. Jika ya, Anda memiliki alat untuk menganalisisnya dengan mudah. Jika tidak, Anda memerlukan metode lain. Distribusi normal bukanlah hukum alam. Itu adalah sebuah model. Yang sangat berguna. Namun terkadang kenyataan tidak sesuai dengan kenyataan.
Kami mengandalkan model-model ini untuk memahami kekacauan. Teorema limit pusat memberi kita kekuatan itu. Hal ini mengubah ketidakpastian menjadi sesuatu yang bisa diperhitungkan. Gauss dan Maxwell tidak bermaksud menciptakan alat statistik universal. Mereka hanya ingin memahami bintang dan molekul gas. Namun penelitian mereka mengungkapkan kebenaran yang lebih dalam tentang bagaimana dunia mengumpulkan peristiwa-peristiwa acak.
Lain kali Anda melihat kurva lonceng, ingatlah sejarahnya. Ingat koin de Moivre dan teorema Laplace. Ini bukan hanya sekedar bentuk. Ini adalah hasil dari upaya berabad-abad untuk menemukan keteraturan dalam keacakan. Kurva menyederhanakan kompleks. Hal ini memungkinkan kita untuk memprediksi hal-hal yang tidak dapat diprediksi.
Namun perlu diingat. Data nyata jarang sekali yang benar-benar normal. Kemiringan dan kurtosis memang ada. Ekornya seringkali lebih berat dari perkiraan model. Distribusi normal merupakan perkiraan. Yang kuat. Namun tetap saja merupakan perkiraan. Memahami batasannya sama pentingnya dengan memahami penerapannya. Di situlah letak wawasan sebenarnya.
