Arrêtez de considérer les probabilités comme une simple liste de probabilités. Dans le monde réel et désordonné des données continues, les choses n’arrivent pas ou n’arrivent pas. Ils existent sur un spectre. Pour donner un sens à ce spectre, les statisticiens utilisent une fonction de densité de probabilité.
Cela semble intimidant. Ce n’est pas le cas.
À la base, un PDF n’est qu’une carte. Il vous indique où les valeurs sont susceptibles de se regrouper et où elles sont rares. Le graphique de cette fonction est une courbe planant au-dessus de l’axe horizontal. L’aire totale sous cette courbe est toujours exactement 1. Ce n’est pas une règle aléatoire. C’est une nécessité mathématique. La zone représente 100 % de tous les résultats possibles.
Pourquoi la surface est égale à la probabilité
C’est ici que la plupart des gens restent bloqués. On ne regarde pas la hauteur de la courbe pour trouver une probabilité. La hauteur est la densité. La surface est une probabilité.
Si vous souhaitez connaître la probabilité qu’un résultat se situe entre deux valeurs spécifiques, vous calculez l’aire sous la courbe entre ces points. Cette zone est la probabilité.
Chaque variable aléatoire est associée à une fonction de densité de probabilité.
Considérons une distribution normale. Vous la connaissez sous le nom de courbe en cloche. Cette forme de cloche est le PDF de cette variable. Le sommet au milieu montre où les valeurs sont les plus susceptibles d’atterrir. Les queues qui s’étendent à l’infini montrent où elles deviennent moins probables, mais jamais vraiment impossibles.
Décomposer les composants
Pour réellement utiliser un PDF, vous devez comprendre ses trois contraintes principales :
- Continuité : Contrairement aux variables discrètes (comme lancer un dé), les variables continues peuvent prendre n’importe quelle valeur dans une plage. Le temps, le poids et la taille sont continus. Un PDF gère cette fluidité.
- Non-négativité : La courbe ne descend jamais en dessous de l’axe horizontal. Une densité de probabilité ne peut pas être négative.
- Superficie totale = 1 : La somme de la région entière sous la courbe est égale à 1. Si ce n’était pas le cas, le calcul échouerait. Les probabilités seraient soit inférieures à 100 % (résultats impossibles), soit supérieures à 100 % (magie).
Quand utiliser un PDF
Vous recherchez une fonction de densité de probabilité lorsque vous avez affaire à des variables aléatoires continues. Si vous mesurez quelque chose qui peut être subdivisé à l’infini, vous consultez probablement un PDF.
Par exemple, si vous souhaitez connaître la probabilité qu’une pièce fabriquée pèse entre 4,99 et 5,01 grammes, vous intégrez le PDF sur cette plage. Vous ne faites pas que deviner. Vous mesurez l’aire sous la courbe.
L’exemple de distribution normale
Le PDF le plus courant que vous rencontrerez est la distribution normale. C’est partout. Taille humaine. Résultats des tests. Erreurs de mesure.
La courbe en cloche est symétrique. La moyenne, la médiane et le mode se situent au même point. Mais le PDF fait plus que simplement montrer la forme. Il quantifie le risque. Plus la chute des queues est forte, plus la variable est prévisible. Des courbes plus plates signifient plus de volatilité.
Idées fausses courantes
Beaucoup de gens confondent la valeur de la fonction avec la probabilité elle-même. Si le PDF en un point est de 0,5, cela ne signifie pas qu’il y a 50 % de chances que cette valeur exacte se produise. Dans une distribution continue, la probabilité d’une valeur exacte unique est techniquement
