Náš týdenní matematický zpravodaj Proof Positive je obvykle velmi přátelský. Dostanete jej každé úterý odpoledne, pokud se přihlásíte k odběru. Toto je stejný údaj, když se káva chladí.
Mnozí z nás takto trápili své rodiče. Zapněte vypínač. Zapnuto Vypnuto Zapnuto Rychle. Máma říká: dost. A myslíme si: co když nepřestaneš?
Představte si na chvíli, že jste nesmrtelní. Nebo alespoň dostatečně trpělivý pro myšlenkový experiment.
Zapněte lampu. Počkejte chvíli. Vypněte to. Počkejte třicet sekund. Znovu jej zapněte. Počkejte patnáct. Zkraťte čas pokaždé na polovinu. Spínačem šviháte rychleji a rychleji a honíte se za hranou nekonečna. Formulovat otázku není těžké.
Svítí přesně po dvou minutách?
James F. Thomson o tom psal v roce 1954. Zjistil, že se zasekl.
“Zdá se, že na tuto otázku nelze odpovědět.”
Lampa nemůže hořet, protože jste ji nikdy nenechali v tomto stavu. Po každém „zapnuto“ bezprostředně následuje „vypnuto“. Nedá se vypnout, protože jste mu nikdy nedovolili „odpočívat“. Po každém „vypnuto“ následuje „zapnuto“. Ale musí být buď zapnuto, nebo vypnuto. Rozpor?
Thomson nebyl první, kdo si pohrával s nekonečnými částkami. Guido Grandi to udělal již v roce 1703.
Zvažte tuto sérii:
“1 + 1/2 + 1/4 + 1/8…”.
Dejte to všechno dohromady. Nikdy nedosáhneš dvou. Ale budete se k tomu nekonečně blížit. Matematici zde limit nazývají číslem 2. V našem scénáři lampy jsou dvě minuty přesně bod, kdy všechna tato nekonečná přepínání končí.
Grundy se postaral o nepřehlednější sérii:
“1 – 1 + 1 – 1 …”.
Donekonečna sčítat nebo odečítat jednotky. Výsledek závisí na tom, kde zůstanete. Pokud se zastavíte na sudém počtu termínů, dostanete 0. Liché číslo? Výsledek je 1. Nekonečno není ani sudé, ani liché.
Vynucené seskupování
Grundy se snažil tuto nejistotu odstranit pomocí závorek.
Seskupte první dvě čísla: (1 - 1). Tohle je nula. Přidejte další pár. Pořád nula.
“0 + 0 + 0 … = 0”.
Lampa je vypnutá.
Ale posuňte závorku o jeden znak doprava. Nechte první jednotku na pokoji.
“1 + (-1 + 1) + (-1 + 1)”.
Nyní je každý pár zredukován na nulu, přičemž první zůstane osamocený. Výsledkem je 1.
Lampa svítí.
Která skupina je ta „skutečná“? Žádný. To je matematické divadlo.
Grundy se tam nezastavil. Celé nekonečné sérii dal jméno. Říkejme tomu S.
“S = 1 – 1 + 1 – 1 …”.
Odstraňte první termín. Zbytek série je “-(S)”.
Proto: S = 1 - S.
Dvojité S je 1.
“S = 1/2”.
Limit je poloviční. Tato odpověď se líbí mnoha odborníkům. Vypadá půvabně. Řeší opozici mezi 0 a 1.
Takže zpět k lampě. Hoří napůl? Žárovka svítí na padesát procent výkonu?
To je u standardního přepínače fyzicky nemožné. Pro každý okamžik než uplynou dvě minuty, můžeme pojmenovat stav. On Off Ale přesně na termín? Umlčet.
Fyzika zachraňuje den (tak nějak)
Johna Ermana a Johna Nortona čistá abstrakce nudila. Přinesli myšlenkový experiment do fyzického světa.
Hoďte kovovou kouli. Ne na podlaze. Na indukční varné desce.
První odraz trvá minutu. Pak třicet sekund. Pak patnáct. Nekonečné odskoky. Celkem dvě minuty.
Pokaždé, když je míč zasažen, generuje elektrický impuls. Okruh je uzavřen. Lampa se rozsvítí.
Platí zde fyzikální zákony. Gravitace vítězí. Po nekonečném počtu odrazů se míč přestane pohybovat. Leží na talíři. Kontakt byl navázán.
Lampa zůstane rozsvícená. Limit je 1.
Nyní obraťte technické řešení.
Když míček dopadne, řetěz otevřete. Normální stav? Světlo svítí. Přistál míč? Světla jsou zhasnutá.
Míč stále nekonečněkrát odskočí. A stále přichází sám u talíře po dvou minutách. Protože přistání přeruší spojení, lampa zhasne, když je koule odstraněna.
Lampa je tmavá. Limit je 0.
Ermen a Norton dospěli k závěru. Thomsonova lampa není paradox. Tohle je špatná hádanka. Chybí jí popis.
V závislosti na tom, jak sestavíte přepínač, se odpověď změní. Musíte vědět, co mechanismus dělá, když vyprší čas, nejen kolikrát předtím kliknul.
Záhada zmizí, když přidáte dráty a gravitaci.
Znamená to, že matematika byla špatná? Ne.
Znamená to jen, že místnost se nestará o Grundyho řadu. Místnost zajímá, zda je spínač v poloze nahoru nebo dolů, když se hodiny zastaví.
Což vede k další otázce.
Jestli ještě jednou přepnu vypínač jen kvůli tobě… zůstane místnost polotmavá?
