Proof Positive, la nostra newsletter settimanale di matematica, è solitamente abbastanza amichevole. Lo ricevi ogni martedì pomeriggio se ti iscrivi. È il genere di cose che leggi mentre il caffè si raffredda.
La maggior parte di noi ha torturato i propri genitori in questo modo. Premi l’interruttore. SU. Spento. Di nuovo. Veloce. La mamma dice basta. Dico: e se non lo facessi?
Immagina per un secondo di essere immortale. O almeno abbastanza paziente per un esperimento mentale.
Accendi la lampada. Aspetta un minuto. Spegnilo. Aspetta trenta secondi. Riaccendilo. Aspetta quindici. Ogni volta, dimezzare la durata. Stai girando l’interruttore sempre più velocemente, inseguendo il limite dell’infinito. La domanda non è difficile da formulare.
Dopo esattamente due minuti la luce è accesa?
James F. Thomson ne scrisse nel 1954. Si ritrovò bloccato.
“Sembra impossibile rispondere a questa domanda.”
La lampada non può essere accesa perché non l’hai mai lasciata così. Ogni “on” è immediatamente seguito da un “off”. Non può essere spento perché non lo lasci mai riposare. Ogni “off” è seguito da un “on”. Eppure deve essere l’uno o l’altro. Una contraddizione?
Thomson non è stato il primo a pasticciare con somme infinite. Guido Grandi lo fece nel 1703.
Considera questa serie:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Aggiungili tutti. Non arrivi mai a 2. Ma ti avvicini infinitamente. I matematici chiamano il limite 2. Nel nostro scenario con la lampada, due minuti sono esattamente il punto in cui tutti quegli infiniti interruttori finiscono il loro lavoro.
Grandi teneva ad una serie più disordinata:
1 - 1 +1 - 1 ...
Aggiungi o sottrai uno per sempre. Dipende da dove ti fermi. Se ti fermi su un numero pari di termini, ottieni 0. Numero dispari? Ottieni 1. L’infinito, però, non è né pari né dispari.
Raggruppamento per forza
Grandi ha provato a risolvere l’ambiguità con le parentesi.
Raggruppare i primi due numeri: “(1 -1)”. Questo è zero. Aggiungi la coppia successiva. Un altro zero.
0 + 0 +0 ... = 0
La lampada è spenta.
Ma sposta la parentesi di uno spazio a destra. Mantieni solo il primo.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Ora ogni coppia si cancella fino a zero, lasciando il primo numero solitario. Il risultato è 1.
La lampada è accesa.
Quale raggruppamento è “reale”? Nessuno dei due. È teatro matematico.
Grandi non si è fermato qui. Ha dato un nome a tutta la serie infinita. Chiamiamolo S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Rimuovi il primo termine. Il resto della serie è semplicemente “-(S)”.
Quindi: S = 1 -S.
La doppia S equivale a 1.
“S = 1/2”.
Il limite è la metà. A molti esperti piace questa risposta. Sembra intelligente. Risolve il tiro alla fune tra 0 e 1.
Quindi, torniamo alla lampada. È semiilluminato? La lampadina brilla al cinquanta per cento della sua capacità?
Ciò è fisicamente impossibile per un interruttore a levetta standard. Per ogni momento prima dello scadere dei due minuti, possiamo dirti lo stato. SU. Spento. Ma proprio alla scadenza? Silenzio.
La fisica salva la situazione (più o meno)
John Earman e John Norton si annoiarono della pura astrazione. Hanno trascinato l’esperimento mentale nel mondo fisico.
Lascia cadere una palla di metallo. Non sul pavimento. Su un piano cottura a induzione.
Il primo rimbalzo richiede un minuto. Poi trenta secondi. Poi quindici. Rimbalzi infiniti. Due minuti in totale.
Ogni volta che la palla colpisce, genera un impulso elettrico. Il circuito si collega. La lampada si accende.
Qui si applica la fisica. La gravità vince. Dopo infiniti rimbalzi, la palla smette di muoversi. Si siede sul piatto. Il contatto è stabilito.
La lampada rimane accesa. Il limite è uguale a 1.
Ora invertiamo l’ingegneria.
Rendi il circuito aperto quando la pallina si ferma. Stato normale? Luce accesa. La palla atterra? Luce spenta.
La palla rimbalza ancora all’infinito. Si ferma ancora sul piatto allo scadere dei due minuti. Poiché l’atterraggio interrompe la connessione, la lampada si spegne quando si stabilizza.
La lampada è scura. Il limite è uguale a 0.
Earman e Norton hanno tratto la loro conclusione. La lampada di Thomson non è un paradosso. È un brutto enigma. Manca la descrizione.
A seconda di come costruisci l’interruttore, la risposta cambia. Devi sapere cosa fa il meccanismo quando scade il tempo, non solo quante volte si gira prima.
Il mistero svanisce quando aggiungi fili e gravità.
Significa che la matematica era sbagliata? No.
Significa solo che alla sala non interessa la serie di Grandi. Alla stanza interessa se l’interruttore è su o giù quando l’orologio si ferma.
Il che porta a un’altra domanda.
Se premo l’interruttore ancora una volta, solo per te… la stanza è ancora semibuia?
