Proof Positive, buletin matematika mingguan kami, biasanya cukup ramah. Anda mendapatkannya setiap Selasa sore jika Anda mendaftar. Ini adalah hal yang Anda baca saat kopi Anda dingin.
Kebanyakan dari kita pernah menyiksa orang tua kita dengan cara ini. Jentikkan tombolnya. Pada. Mati. Aktif lagi. Cepat. Ibu bilang berhenti. Saya berkata, bagaimana jika saya tidak melakukannya?
Anggaplah sejenak Anda abadi. Atau setidaknya cukup sabar untuk melakukan eksperimen pikiran.
Nyalakan lampunya. Tunggu satu menit. Matikan. Tunggu tiga puluh detik. Hidupkan kembali. Tunggu lima belas. Setiap kali, kurangi separuh durasinya. Anda menekan tombol semakin cepat, mengejar tepian ketidakterbatasan. Pertanyaannya tidak sulit untuk diungkapkan.
Tepat setelah dua menit, apakah lampunya menyala?
James F. Thomson menulis tentang hal ini pada tahun 1954. Dia mendapati dirinya terjebak.
“Sepertinya mustahil untuk menjawab pertanyaan ini.”
Lampu tidak dapat menyala karena Anda tidak pernah membiarkannya seperti itu. Setiap “on” segera diikuti dengan “off”. Itu tidak bisa dimatikan karena Anda tidak pernah membiarkannya beristirahat. Setiap “mati” diikuti dengan “hidup”. Namun itu harus menjadi satu atau yang lain. Sebuah kontradiksi?
Thomson bukanlah orang pertama yang mengacaukan jumlah yang tak terhingga. Guido Grandi melakukannya pada tahun 1703.
Pertimbangkan seri ini:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Tambahkan semuanya. Anda tidak pernah mencapai angka 2. Namun Anda semakin dekat. Matematikawan menyebut batasnya 2. Dalam skenario lampu kita, dua menit adalah waktu yang tepat bagi semua saklar tak terbatas untuk menyelesaikan tugasnya.
Grandi peduli dengan serial yang lebih berantakan:
1 - 1 +1 - 1 ...
Tambahkan atau kurangi satu selamanya. Itu tergantung di mana Anda berhenti. Jika Anda berhenti pada bilangan genap, Anda mendapat 0. Bilangan ganjil? Anda mendapatkan 1. Namun, tak terhingga bukanlah genap atau ganjil.
Pengelompokan secara paksa
Grandi mencoba memperbaiki ambiguitas tersebut dengan tanda kurung.
Kelompokkan dua angka pertama: (1 -1). Itu nol. Tambahkan pasangan berikutnya. Nol lainnya.
0 + 0 +0 ... = 0
Lampunya mati.
Namun geser braket satu spasi ke kanan. Simpan 1 yang pertama saja.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Sekarang setiap pasangan dibatalkan menjadi nol, menyisakan angka pertama yang sepi. Hasilnya adalah 1.
Lampu menyala.
Pengelompokan manakah yang “nyata”? Juga tidak. Ini teater matematika.
Grandi tidak berhenti di situ. Dia memberi nama pada keseluruhan rangkaian tak terbatas itu. Sebut saja S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Hapus istilah pertama. Seri lainnya hanyalah -(S).
Jadi: S = 1 -S.
Ganda S sama dengan 1.
S = 1/2
Batasnya adalah satu setengah. Banyak ahli menyukai jawaban ini. Rasanya pintar. Ini menyelesaikan tarik-menarik antara 0 dan 1.
Jadi, kembali ke lampu. Apakah itu setengah menyala? Apakah bohlamnya menyala pada kapasitas lima puluh persen?
Secara fisik hal ini tidak mungkin dilakukan pada sakelar sakelar standar. Untuk setiap momen sebelum dua menit berlalu, kami dapat memberi tahu Anda keadaannya. Pada. Mati. Tapi benarkah pada tenggat waktu? Kesunyian.
Fisika menyelamatkan hari (semacamnya)
John Earman dan John Norton bosan dengan abstraksi murni. Mereka menyeret eksperimen pemikiran ke dunia fisik.
Jatuhkan bola logam. Bukan di lantai. Di kompor induksi.
Pentalan pertama membutuhkan waktu satu menit. Lalu tiga puluh detik. Lalu lima belas. Pantulan yang tak terbatas. Totalnya dua menit.
Setiap kali bola mengenai, ia menghasilkan pulsa listrik. Sirkuit terhubung. Lampu menyala.
Fisika berlaku di sini. Gravitasi menang. Setelah memantul tanpa batas, bola berhenti bergerak. Itu terletak di piring. Kontak dibuat.
Lampu tetap menyala. Batasnya sama dengan 1.
Sekarang balikkan rekayasanya.
Buat sirkuit terbuka saat bola mendarat. Keadaan normal? Nyalakan. Bola mendarat? Matikan lampu.
Bola masih memantul tanpa batas. Itu masih berhenti di piring pada tanda dua menit. Karena pendaratan memutus sambungan, lampu akan mati saat sudah terpasang.
Lampunya gelap. Batas sama dengan 0.
Earman dan Norton punya kesimpulan. Lampu Thomson bukanlah sebuah paradoks. Ini adalah teka-teki yang buruk. Itu tidak memiliki deskripsi.
Bergantung pada cara Anda membuat peralihan, jawabannya akan berubah. Anda harus mengetahui mekanisme apa yang dilakukan ketika waktu habis, bukan hanya berapa kali mekanisme tersebut terbalik sebelumnya.
Misterinya hilang saat Anda menambahkan kabel dan gravitasi.
Apakah itu berarti matematika salah? Tidak.
Itu hanya berarti ruangan itu tidak peduli dengan serial Grandi. Ruangan peduli apakah saklarnya naik atau turun ketika jam berhenti.
Yang mengarah ke pertanyaan lain.
Jika aku menekan tombolnya sekali lagi, hanya untukmu… apakah ruangannya masih setengah gelap?
