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La mayoría de nosotros hemos torturado a nuestros padres de esta manera. Pulsa el interruptor. En. Apagado. De nuevo. Rápido. La madre dice que pares. Yo digo, ¿y si no lo hago?
Asume por un segundo que eres inmortal. O al menos lo suficientemente paciente para un experimento mental.
Enciende la lámpara. Espere un minuto. Apágalo. Espere treinta segundos. Vuelva a encenderlo. Espera quince. Cada vez, reduce a la mitad la duración. Estás accionando el interruptor cada vez más rápido, persiguiendo el borde del infinito. La pregunta no es difícil de formular.
Después de exactamente dos minutos, ¿está encendida la luz?
James F. Thomson escribió sobre esto en 1954. Se encontró estancado.
“Parece imposible responder a esta pregunta”.
La lámpara no puede estar encendida porque nunca la dejaste así. Cada “encendido” va seguido inmediatamente de un “apagado”. No puede apagarse porque nunca lo dejas descansar. Cada “apagado” va seguido de un “encendido”. Sin embargo, debe ser uno o el otro. ¿Una contradicción?
Thomson no fue el primero en meterse con sumas infinitas. Guido Grandi lo hizo en 1703.
Considere esta serie:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Súmelos todos. Nunca llegas a 2. Pero te acercas infinitamente. Los matemáticos llaman al límite 2. En nuestro escenario de lámpara, dos minutos es exactamente donde todos esos interruptores infinitos terminan su trabajo.
A Grandi le importaba una serie más desordenada:
1 - 1 +1 - 1 ...
Suma o resta uno para siempre. Depende de dónde te detengas. Si te detienes en un número par de términos, obtienes 0. ¿Número impar? Obtienes 1. Sin embargo, el infinito no es ni par ni impar.
Agrupación por la fuerza
Grandi intentó solucionar la ambigüedad con paréntesis.
Agrupa los dos primeros números: (1 -1). Eso es cero. Agrega el siguiente par. Otro cero.
0 + 0 +0... = 0
La lámpara está apagada.
Pero mueva el corchete un espacio hacia la derecha. Mantenga el primero solo.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Ahora cada par se cancela a cero, dejando ese primer número solitario. El resultado es 1.
La lámpara está encendida.
¿Qué agrupación es “real”? Ni. Es teatro matemático.
Grandi no se detuvo ahí. Le dio un nombre a toda la serie infinita. Llamémoslo S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Elimina el primer término. El resto de la serie es solo -(S).
Entonces: S = 1 -S.
La doble S es igual a 1.
S = 1/2
El límite es la mitad. A muchos expertos les gusta esta respuesta. Se siente inteligente. Resuelve el tira y afloja entre 0 y 1.
Entonces, volvamos a la lámpara. ¿Está medio iluminado? ¿Está encendida la bombilla al cincuenta por ciento de su capacidad?
Eso es físicamente imposible para un interruptor de palanca estándar. Por cada momento antes de que transcurran los dos minutos, podemos indicarle el estado. En. Apagado. ¿Pero justo en la fecha límite? Silencio.
La física salva el día (más o menos)
John Earman y John Norton se aburrieron de la pura abstracción. Arrastraron el experimento mental al mundo físico.
Deja caer una bola de metal. No en el suelo. En una placa de inducción.
El primer rebote tarda un minuto. Luego treinta segundos. Luego quince. Rebotes infinitos. Dos minutos en total.
Cada vez que la pelota golpea, genera un pulso eléctrico. El circuito se conecta. La lámpara se enciende.
La física se aplica aquí. La gravedad gana. Después de infinitos rebotes, la pelota deja de moverse. Se asienta sobre el plato. El contacto está hecho.
La lámpara permanece encendida. El límite es igual a 1.
Ahora invierte la ingeniería.
Haz que el circuito esté abierto cuando la pelota aterrice. ¿Estado normal? Luz encendida. ¿La pelota aterriza? Luz apagada.
La pelota todavía rebota infinitamente. Todavía se detiene en el plato después de los dos minutos. Dado que el aterrizaje rompe la conexión, la lámpara se apaga cuando se asienta.
La lámpara está oscura. El límite es igual a 0.
Earman y Norton llegaron a su conclusión. La lámpara de Thomson no es una paradoja. Es un mal rompecabezas. Le falta descripción.
Dependiendo de cómo construyas el interruptor, la respuesta cambia. Tienes que saber qué hace el mecanismo cuando se acaba el tiempo, no sólo cuántas veces gira antes.
El misterio se desvanece cuando le agregas cables y gravedad.
¿Eso significa que las matemáticas estaban mal? No.
Simplemente significa que a la sala no le importa la serie de Grandi. A la sala le importa si el interruptor está arriba o abajo cuando el reloj se detiene.
Lo que lleva a otra pregunta.
Si aprieto el interruptor una vez más, sólo para ti… ¿la habitación sigue medio oscura?
