Наша еженедельная математическая рассылка Proof Positive обычно довольно дружелюбна. Вы получаете её каждый вторник после обеда, если подписаны. Это то самое чтение, пока остывает кофе.
Многие из нас изводили своих родителей подобным образом. Включить выключатель. Вкл. Выкл. Вкл. Быстро. Мама говорит: хватит. А мы думаем: а что, если не перестать?
Представьте на секунду, что вы бессмертны. Или хотя бы достаточно терпеливы для мысленного эксперимента.
Включите лампу. Подождите минуту. Выключите её. Подождите тридцать секунд. Включите снова. Подождите пятнадцать. Каждый раз сокращайте время вдвое. Вы щёлкаете выключателем всё быстрее и быстрее, преследуя границу бесконечности. Сформулировать вопрос несложно.
После ровно двух минут горит ли свет?
Джеймс Ф. Томсон писал об этом в 1954 году. Он обнаружил, что застрял.
«Похоже, что ответить на этот вопрос невозможно».
Лампа не может гореть, потому что вы никогда не оставляли её в таком состоянии. Каждому «включению» немедленно следует «выключение». Она не может быть выключенной, потому что вы никогда не позволяли ей «отдохнуть». Каждому «выключению» следует «включение». Но она должна быть либо включена, либо выключена. Противоречие?
Томсон не был первым, кто возился с бесконечными суммами. Гвидо Гранди сделал это ещё в 1703 году.
Рассмотрим этот ряд:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ...
Сложите всё вместе. Вы никогда не достигнете двойки. Но вы подойдёте к ней бесконечно близко. Математики называют пределом здесь число 2. В нашем сценарии с лампой две минуты — это именно та точка, где все эти бесконечные переключения завершают свою работу.
Гранди заботился о более запутанном ряде:
1 - 1 + 1 - 1 ...
Сложите или вычтите единицы бесконечно. Итог зависит от того, где вы остановитесь. Если остановиться на чётном количестве слагаемых, получится 0. Нечётное количество? Получится 1. Бесконечность же — ни чётная, ни нечётная.
Принудительная группировка
Гранди попытался устранить эту неопределённость с помощью скобок.
Сгруппируйте первые два числа: (1 - 1). Это ноль. Прибавьте следующую пару. Ещё ноль.
0 + 0 + 0 ... = 0
Лампа выключена.
Но сдвиньте скобку на один знак вправо. Оставьте первую единицу одну.
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1)
Теперь каждая пара сокращается до нуля, оставляя ту одинокую первую единицу. Результат равен 1.
Лампа включена.
Какая группировка является «настоящей»? Ни одна. Это математический театр.
Гранди не остановился на этом. Он дал всему бесконечному ряду имя. Назовём его S.
S = 1 - 1 + 1 - 1 ...
Уберите первый член. Остальная часть ряда равна -(S).
Следовательно: S = 1 - S.
Двойная S равна 1.
S = 1/2
Предел равен одной второй. Многим экспертам этот ответ нравится. Он кажется изящным. Он разрешает противостояние между 0 и 1.
Итак, возвращаемся к лампе. Горит ли она наполовину? Светится ли лампочка с пятьюдесятью процентами мощности?
Физически это невозможно для стандартного тумблера. Для любого момента до истечения двух минут мы можем назвать состояние. Вкл. Выкл. Но ровно в срок? Тишина.
Физика спасает день (вроде бы)
Джон Эрмен и Джон Нортон заскучали от чистой абстракции. Они вытащили мысленный эксперимент в физический мир.
Бросьте металлический шарик. Не на пол. На индукционную варочную поверхность.
Первый отскок занимает минуту. Затем тридцать секунд. Затем пятнадцать. Бесконечные отскоки. Две минуты суммарно.
Каждый раз, когда шарик ударяется, он генерирует электрический импульс. Цепь замыкается. Лампа загорается.
Здесь действуют законы физики. Побеждает гравитация. После бесконечного числа отскоков шарик перестаёт двигаться. Он лежит на пластине. Контакт установлен.
Лампа остаётся включённой. Предел равен 1.
Теперь инвертируйте инженерное решение.
Заставьте цепь размыкаться, когда шарик приземляется. Нормальное состояние? Свет включён. Шарик приземлился? Свет выключен.
Шарик всё равно отскакивает бесконечное число раз. И всё равно приходит в покое на пластине в двухминутной отметке. Поскольку приземление разрывает соединение, лампа гаснет, когда шарик устранивается.
Лампа темная. Предел равен 0.
Эрмен и Нортон сделали свой вывод. Лампа Томсона — не парадокс. Это плохая головоломка. Ей не хватает описания.
В зависимости от того, как вы построите выключатель, ответ изменится. Нужно знать, что механизм делает, когда время истекает, а не просто то, сколько раз он щёлкал до этого.
Тайна исчезает, когда вы добавляете провода и гравитацию.
Значит ли это, что математика ошибалась? Нет.
Это просто значит, что комната не заботится о ряде Гранди. Комнату интересует, находится ли выключатель в верхнем или нижнем положении, когда часы останавливаются.
Что ведёт к другому вопросу.
Если я переключу выключатель ещё раз, специально для вас… остаётся ли комната наполовину темной?
