Proof Positive, notre newsletter hebdomadaire sur les mathématiques, est généralement assez conviviale. Vous le recevez tous les mardis après-midi si vous vous inscrivez. C’est le genre de chose que vous lisez pendant que votre café refroidit.
La plupart d’entre nous ont torturé nos parents de cette façon. Actionnez l’interrupteur. Sur. Désactivé. Encore une fois. Rapide. Mère dit d’arrêter. Je dis, et si je ne le fais pas ?
Supposons pendant une seconde que vous êtes immortel. Ou du moins assez patient pour une expérience de pensée.
Allumez la lampe. Attendez une minute. Éteignez-le. Attendez trente secondes. Rallumez-le. Attends quinze. À chaque fois, divisez par deux la durée. Vous actionnez le commutateur de plus en plus vite, poursuivant le bord de l’infini. La question n’est pas difficile à poser.
Après exactement deux minutes, la lumière est-elle allumée ?
James F. Thomson a écrit à ce sujet en 1954. Il s’est retrouvé coincé.
“Il semble impossible de répondre à cette question.”
La lampe ne peut pas être allumée parce que vous ne l’avez jamais laissée ainsi. Chaque “on” est immédiatement suivi d’un “off”. Il ne peut pas s’éteindre parce que vous ne le laissez jamais reposer. Chaque “off” est suivi d’un “on”. Pourtant, ce doit être l’un ou l’autre. Une contradiction ?
Thomson n’a pas été le premier à jouer avec des sommes infinies. Guido Grandi l’a fait en 1703.
Considérez cette série :
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Additionnez-les tous. On n’atteint jamais 2. Mais on s’en rapproche infiniment. Les mathématiciens appellent la limite 2. Dans notre scénario de lampe, deux minutes sont exactement le moment où tous ces interrupteurs infinis terminent leur travail.
Grandi se souciait d’une série plus compliquée :
1 - 1 +1 - 1 ...
Ajoutez ou soustrayez-en un pour toujours. Cela dépend de l’endroit où vous vous arrêtez. Si vous vous arrêtez sur un nombre pair de termes, vous obtenez 0. Nombre impair ? Vous obtenez 1. L’infini, cependant, n’est ni pair ni impair.
Regroupement par force
Grandi a essayé de corriger l’ambiguïté avec des parenthèses.
Regroupez les deux premiers nombres : (1 -1). C’est zéro. Ajoutez la paire suivante. Encore un zéro.
0 + 0 +0 ... = 0
La lampe est éteinte.
Mais déplacez le support d’un espace vers la droite. Gardez le premier seul.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Désormais, chaque paire s’annule à zéro, laissant ce premier numéro solitaire. Le résultat est 1.
La lampe est allumée.
Quel groupe est « réel » ? Ni l’un ni l’autre. C’est du théâtre mathématique.
Grandi ne s’est pas arrêté là. Il a donné un nom à toute la série infinie. Appelons-le S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Supprimez le premier terme. Le reste de la série est juste -(S).
Donc : S = 1 -S.
Double S est égal à 1.
‘S = 1/2’
La limite est de la moitié. Beaucoup d’experts aiment cette réponse. C’est intelligent. Il résout le bras de fer entre 0 et 1.
Alors revenons à la lampe. Est-ce qu’il est à moitié éclairé ? L’ampoule brille-t-elle à cinquante pour cent de sa capacité ?
C’est physiquement impossible pour un interrupteur à bascule standard. Pour chaque instant avant la fin des deux minutes, nous pouvons vous indiquer l’état. Sur. Désactivé. Mais juste à la date limite ? Silence.
La physique sauve la mise (en quelque sorte)
John Earman et John Norton se sont lassés de l’abstraction pure. Ils ont introduit l’expérience de pensée dans le monde physique.
Lâchez une boule de métal. Pas par terre. Sur une table de cuisson à induction.
Le premier rebond prend une minute. Puis trente secondes. Puis quinze. Des rebonds infinis. Deux minutes au total.
Chaque fois que la balle frappe, elle génère une impulsion électrique. Le circuit se connecte. La lampe s’allume.
La physique s’applique ici. La gravité gagne. Après des rebonds infinis, la balle s’arrête de bouger. Il repose dans l’assiette. Le contact est pris.
La lampe reste allumée. La limite est égale à 1.
Maintenant, inversez l’ingénierie.
Faites en sorte que le circuit soit ouvert lorsque la balle atterrit. Etat normal ? Lumière allumée. La balle atterrit ? Lumière éteinte.
La balle rebondit toujours à l’infini. Il repose toujours sur l’assiette au bout de deux minutes. Puisque l’atterrissage coupe la connexion, la lampe s’éteint lorsqu’elle s’installe.
La lampe est sombre. La limite est égale à 0.
Earman et Norton ont tiré leur conclusion. La lampe de Thomson n’est pas un paradoxe. C’est un mauvais casse-tête. Il manque une description.
Selon la façon dont vous construisez le commutateur, la réponse change. Vous devez savoir ce que le mécanisme fait lorsque le temps est écoulé, pas seulement combien de fois il s’inverse auparavant.
Le mystère disparaît lorsque vous ajoutez des fils et de la gravité.
Cela signifie-t-il que les mathématiques étaient fausses ? Non.
Cela signifie simplement que la salle ne se soucie pas de la série de Grandi. La salle se soucie de savoir si l’interrupteur est haut ou bas lorsque l’horloge s’arrête.
Ce qui amène à une autre question.
Si j’appuie encore une fois sur l’interrupteur, juste pour toi… la pièce est-elle encore à moitié sombre ?
