Prova Positiva, nosso boletim informativo semanal de matemática, geralmente é bastante amigável. Você recebe todas as terças-feiras à tarde se se inscrever. É o tipo de coisa que você lê enquanto o café esfria.
A maioria de nós torturou nossos pais dessa maneira. Aperte o botão. Sobre. Desligado. Ligado novamente. Rápido. A mãe diz para parar. Eu digo, e se eu não fizer isso?
Suponha por um segundo que você é imortal. Ou pelo menos paciente o suficiente para um experimento mental.
Acenda a lâmpada. Espere um minuto. Desligue. Espere trinta segundos. Ligue-o novamente. Espere quinze. Cada vez, reduza pela metade a duração. Você está girando o botão cada vez mais rápido, perseguindo o limite do infinito. A questão não é difícil de formular.
Depois de exatamente dois minutos, a luz está acesa?
James F. Thomson escreveu sobre isso em 1954. Ele se viu preso.
“Parece impossível responder a esta pergunta.”
A lâmpada não pode estar acesa porque você nunca a deixou assim. Cada “ligado” é imediatamente seguido por um “desligado”. Não pode ser desligado porque você nunca o deixa descansar. Cada “desligado” é seguido por um “ligado”. No entanto, deve ser um ou outro. Uma contradição?
Thomson não foi o primeiro a mexer com somas infinitas. Guido Grandi fez em 1703.
Considere esta série:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Adicione todos eles. Você nunca chega a 2. Mas chega infinitamente perto. Os matemáticos chamam o limite de 2. No nosso cenário de lâmpada, dois minutos é exatamente onde todos aqueles interruptores infinitos terminam o seu trabalho.
Grandi se importava com uma série mais confusa:
1 - 1 +1 - 1 ...
Adicione ou subtraia um para sempre. Depende de onde você para. Se você parar em um número par de termos, obterá 0. Número ímpar? Você obtém 1. O infinito, porém, não é par nem ímpar.
Agrupamento por força
Grandi tentou corrigir a ambigüidade com parênteses.
Agrupe os dois primeiros números: (1 -1). Isso é zero. Adicione o próximo par. Outro zero.
0 + 0 +0 ... = 0
A lâmpada está apagada.
Mas desloque o colchete um espaço para a direita. Mantenha o primeiro sozinho.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Agora cada par é cancelado até zero, deixando aquele primeiro número solitário. O resultado é 1.
A lâmpada está acesa.
Qual agrupamento é “real”? Nenhum. É teatro matemático.
Grandi não parou por aí. Ele deu um nome a toda a série infinita. Vamos chamá-lo de S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Remova o primeiro termo. O resto da série é apenas -(S).
Então: S = 1 -S.
Duplo S é igual a 1.
S = 1/2
O limite é metade. Muitos especialistas gostam desta resposta. Parece inteligente. Ele resolve o cabo de guerra entre 0 e 1.
Então, de volta à lâmpada. Está meio iluminado? A lâmpada está brilhando com cinquenta por cento da capacidade?
Isso é fisicamente impossível para uma chave seletora padrão. Para cada momento antes de terminarem os dois minutos, podemos dizer-lhe o estado. Sobre. Desligado. Mas certo no prazo? Silêncio.
A física salva o dia (mais ou menos)
John Earman e John Norton ficaram entediados com a pura abstração. Eles arrastaram o experimento mental para o mundo físico.
Solte uma bola de metal. Não no chão. Em um cooktop de indução.
O primeiro salto leva um minuto. Depois trinta segundos. Depois quinze. Saltos infinitos. Dois minutos no total.
Cada vez que a bola bate, ela gera um pulso elétrico. O circuito se conecta. A lâmpada acende.
A física se aplica aqui. A gravidade vence. Após saltos infinitos, a bola para de se mover. Fica no prato. O contato está feito.
A lâmpada permanece acesa. Limite é igual a 1.
Agora inverta a engenharia.
Faça o circuito abrir quando a bola cair. Estado normal? Luz acesa. A bola cai? Apague a luz.
A bola ainda quica infinitamente. Ele ainda pára no prato na marca de dois minutos. Como o pouso interrompe a conexão, a lâmpada apaga quando assenta.
A lâmpada está escura. Limite é igual a 0.
Earman e Norton chegaram à sua conclusão. A lâmpada de Thomson não é um paradoxo. É um quebra-cabeça ruim. Falta descrição.
Dependendo de como você constrói o switch, a resposta muda. Você tem que saber o que o mecanismo faz quando o tempo acaba, e não apenas quantas vezes ele gira antes.
O mistério desaparece quando você adiciona fios e gravidade.
Isso significa que a matemática estava errada? Não.
Significa apenas que a sala não se importa com a série de Grandi. A sala se preocupa se o interruptor está para cima ou para baixo quando o relógio para.
O que leva a outra questão.
Se eu apertar o botão mais uma vez, só para você… o quarto ainda está meio escuro?
