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Die meisten von uns haben ihre Eltern auf diese Weise gefoltert. Betätigen Sie den Schalter. An. Aus. Wieder an. Schnell. Mutter sagt Stopp. Ich sage: Was ist, wenn ich es nicht tue?
Nehmen Sie für eine Sekunde an, Sie wären unsterblich. Oder zumindest geduldig genug für ein Gedankenexperiment.
Schalten Sie die Lampe ein. Warten Sie eine Minute. Schalten Sie es aus. Warten Sie dreißig Sekunden. Schalten Sie es wieder ein. Warte fünfzehn. Halbieren Sie jedes Mal die Dauer. Sie legen den Schalter immer schneller um und jagen dem Rand der Unendlichkeit nach. Die Frage ist nicht schwer zu stellen.
Leuchtet nach genau zwei Minuten das Licht?
James F. Thomson schrieb 1954 darüber. Er steckte fest.
„Es scheint unmöglich, diese Frage zu beantworten.“
Die Lampe kann nicht eingeschaltet sein, weil Sie sie nie so gelassen haben. Auf jedes „Ein“ folgt sofort ein „Aus“. Es kann nicht ausgeschaltet sein, weil Sie es niemals ruhen lassen. Auf jedes „Aus“ folgt ein „Ein“. Dennoch muss es das eine oder das andere sein. Ein Widerspruch?
Thomson war nicht der Erste, der sich mit unendlichen Summen beschäftigte. Guido Grandi tat es im Jahr 1703.
Betrachten Sie diese Serie:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Addieren Sie sie alle. Man erreicht nie 2. Aber man kommt unendlich nahe. Mathematiker nennen den Grenzwert 2. In unserem Lampenszenario sind genau zwei Minuten der Zeitpunkt, an dem all diese unendlichen Schalter ihre Arbeit beenden.
Grandi wünschte sich eine chaotischere Serie:
1 - 1 +1 - 1 ...
Addiere oder subtrahiere eins für immer. Es hängt davon ab, wo Sie anhalten. Wenn Sie bei einer geraden Anzahl von Termen anhalten, erhalten Sie 0. Ungerade Zahl? Sie erhalten 1. Unendlich ist jedoch weder gerade noch ungerade.
Gruppierung erzwungen
Grandi versuchte, die Mehrdeutigkeit mit Klammern zu beheben.
Gruppieren Sie die ersten beiden Zahlen: „(1 -1)“. Das ist Null. Fügen Sie das nächste Paar hinzu. Noch eine Null.
0 + 0 +0 ... = 0
Die Lampe ist aus.
Aber verschieben Sie die Klammer um eine Stelle nach rechts. Behalten Sie die erste 1 in Ruhe.
„1 + (-1 +1) + (-1 +1)“.
Jetzt wird jedes Paar auf Null aufgehoben und es bleibt die einsame erste Zahl übrig. Das Ergebnis ist 1.
Die Lampe ist an.
Welche Gruppierung ist „real“? Weder. Es ist Mathe-Theater.
Grandi hörte hier nicht auf. Er gab der gesamten unendlichen Reihe einen Namen. Nennen wir es S.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Entfernen Sie den ersten Begriff. Der Rest der Serie ist nur „-(S)“.
Also: S = 1 -S.
Doppeltes S entspricht 1.
„S = 1/2“.
Die Grenze liegt bei der Hälfte. Vielen Experten gefällt diese Antwort. Es fühlt sich klug an. Es löst das Tauziehen zwischen 0 und 1 auf.
Also zurück zur Lampe. Ist es halb beleuchtet? Leuchtet die Glühbirne mit fünfzig Prozent Kapazität?
Das ist für einen Standard-Kippschalter physikalisch unmöglich. Für jeden Moment bevor die zwei Minuten abgelaufen sind, können wir Ihnen den Status mitteilen. An. Aus. Aber genau zum Stichtag? Schweigen.
Physik rettet den Tag (sozusagen)
John Earman und John Norton langweilten sich mit der reinen Abstraktion. Sie verschleppten das Gedankenexperiment in die physische Welt.
Lass eine Metallkugel fallen. Nicht auf dem Boden. Auf einem Induktionskochfeld.
Der erste Sprung dauert eine Minute. Dann dreißig Sekunden. Dann fünfzehn. Unendliche Sprünge. Insgesamt zwei Minuten.
Jedes Mal, wenn der Ball auftrifft, erzeugt er einen elektrischen Impuls. Der Stromkreis verbindet. Die Lampe leuchtet auf.
Hier gilt die Physik. Die Schwerkraft gewinnt. Nach unendlichen Sprüngen hört der Ball auf, sich zu bewegen. Es liegt auf dem Teller. Der Kontakt ist hergestellt.
Die Lampe bleibt an. Grenzwert ist gleich 1.
Kehren Sie nun die Technik um.
Machen Sie den Stromkreis offen, wenn der Ball landet. Normalzustand? Licht an. Ball landet? Licht aus.
Der Ball springt immer noch unendlich. Nach zwei Minuten bleibt es immer noch auf dem Teller liegen. Da bei der Landung die Verbindung unterbrochen wird, schaltet sich die Lampe aus, wenn sie sich stabilisiert.
Die Lampe ist dunkel. Grenzwert ist gleich 0.
Earman und Norton kamen zu ihrem Schluss. Thomsons Lampe ist kein Paradoxon. Es ist ein schlechtes Rätsel. Es fehlt eine Beschreibung.
Je nachdem, wie Sie den Schalter bauen, ändert sich die Antwort. Sie müssen wissen, was der Mechanismus tut, wenn die Zeit abgelaufen ist, und nicht nur, wie oft er zuvor umgedreht wird.
Das Geheimnis verschwindet, wenn man Drähte und Schwerkraft hinzufügt.
Bedeutet das, dass die Mathematik falsch war? Nein.
Es bedeutet nur, dass sich der Raum nicht für Grandis Serie interessiert. Der Raum kümmert sich darum, ob der Schalter oben oder unten steht, wenn die Uhr stehen bleibt.
Was zu einer anderen Frage führt.
Wenn ich den Schalter noch einmal umlege, nur für dich … ist der Raum immer noch halb dunkel?
