Nasz cotygodniowy biuletyn matematyczny Proof Positive jest zazwyczaj dość przyjazny. Otrzymujesz go w każdy wtorek po południu, jeśli subskrybujesz. Jest to ten sam odczyt podczas chłodzenia kawy.
Wielu z nas dręczyło w ten sposób swoich rodziców. Włącz przełącznik. Włącz Wyłącz Włącz szybko. Mama mówi: dość. I myślimy: co jeśli nie przestaniesz?
Wyobraź sobie przez chwilę, że jesteś nieśmiertelny. Albo przynajmniej wystarczająco cierpliwy, żeby przeprowadzić eksperyment myślowy.
Włącz lampę. Poczekaj chwilę. Wyłącz to. Poczekaj trzydzieści sekund. Włącz go ponownie. Poczekaj piętnaście. Za każdym razem skróć czas o połowę. Pstrykasz przełącznikiem coraz szybciej, goniąc za krawędzią nieskończoności. Sformułowanie pytania nie jest trudne.
Czy po dokładnie dwóch minutach światło się włącza?
James F. Thomson pisał o tym w 1954 roku. Utknął w miejscu.
„Wygląda na to, że na to pytanie nie da się odpowiedzieć”.
Lampa nie może się palić, ponieważ nigdy nie zostawiłeś jej w takim stanie. Po każdym „włączeniu” następuje natychmiastowe „wyłączenie”. Nie da się go wyłączyć, bo nigdy nie pozwoliłeś mu „odpocząć”. Po każdym „wyłączeniu” następuje „włączenie”. Ale musi być włączony lub wyłączony. Sprzeczność?
Thomson nie był pierwszym, który majstrował przy nieskończonych sumach. Guido Grandi zrobił to już w 1703 roku.
Rozważ tę serię:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8...
Złóż to wszystko razem. Nigdy nie dojdziesz do dwóch. Ale zbliżysz się do tego nieskończenie blisko. Matematycy nazywają tę granicę liczbą 2. W naszym scenariuszu z lampą dwie minuty to dokładnie moment, w którym kończą się wszystkie te niekończące się przełączenia.
Grundy zajął się bardziej zagmatwaną serią:
1 - 1 + 1 - 1 ...
Dodawaj lub odejmuj jednostki w nieskończoność. Wynik zależy od tego, gdzie się zatrzymasz. Jeśli zatrzymasz się na parzystej liczbie terminów, otrzymasz 0. Liczba nieparzysta? Wynik to 1. Nieskończoność nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Wymuszone grupowanie
Grundy próbował wyeliminować tę niepewność, używając nawiasów.
Zgrupuj dwie pierwsze liczby: (1 - 1). To jest zero. Dodaj następną parę. Nadal zero.
0 + 0 + 0 ... = 0
Lampa jest wyłączona.
Ale przesuń nawias o jeden znak w prawo. Zostaw pierwszą jednostkę w spokoju.
„1 + (-1 + 1) + (-1 + 1)”.
Teraz każda para jest zredukowana do zera, pozostawiając tę samotną pierwszą. Wynik to 1.
Lampa jest włączona.
Która grupa jest „prawdziwa”? Nic. To jest teatr matematyczny.
Grundy na tym nie poprzestał. Nadał nazwę całej niekończącej się serii. Nazwijmy to S.
S = 1 - 1 + 1 - 1...
Usuń pierwszy termin. Pozostała część serii to „-(S)”.
Dlatego: S = 1 - S.
Podwójne S to 1.
„S = 1/2”.
Limit to połowa. Wielu ekspertów lubi tę odpowiedź. Wydaje się pełen wdzięku. Rozwiązuje opozycję pomiędzy 0 a 1.
Wracając do lampy. Czy pali się w połowie? Czy żarówka świeci z mocą pięćdziesięciu procent?
Jest to fizycznie niemożliwe w przypadku standardowego przełącznika dwustabilnego. W dowolnym momencie zanim upłyną dwie minuty, możemy nazwać stan. Włączone Wyłączone Ale dokładnie w terminie? Cisza.
Fizyka ratuje sytuację (w pewnym sensie)
Johna Ermana i Johna Nortona znudziła czysta abstrakcja. Przenieśli eksperyment myślowy do świata fizycznego.
Rzuć metalową kulką. Nie na podłodze. Na płycie indukcyjnej.
Pierwsze odbicie trwa minutę. Potem trzydzieści sekund. Potem piętnaście. Niekończące się podskoki. W sumie dwie minuty.
Przy każdym uderzeniu piłka generuje impuls elektryczny. Obwód jest zamknięty. Lampka zapala się.
Obowiązują tu prawa fizyki. Grawitacja wygrywa. Po nieskończonej liczbie odbić piłka przestaje się poruszać. Leży na talerzu. Kontakt został nawiązany.
Lampa pozostaje włączona. Limit wynosi 1.
Teraz odwróć rozwiązanie inżynieryjne.
Spraw, aby łańcuch otwarł się, gdy piłka wyląduje. Normalny stan? Światło jest włączone. Czy piłka wylądowała? Światła są wyłączone.
Piłka nadal odbija się nieskończoną liczbę razy. I nadal przychodzi sam do talerza po dwóch minutach. Ponieważ lądowanie przerywa połączenie, lampa gaśnie, gdy piłka zostanie wyeliminowana.
Lampa jest ciemna. Limit wynosi 0.
Ermen i Norton doszli do wniosku. Lampa Thomsona nie jest paradoksem. To zła zagadka. Brakuje jej opisu.
W zależności od tego, jak zbudujesz przełącznik, odpowiedź będzie się zmieniać. Musisz wiedzieć, co mechanizm robi, gdy skończy się czas, a nie tylko ile razy kliknął wcześniej.
Tajemnica znika, gdy dodasz przewody i grawitację.
Czy to oznacza, że matematyka była błędna? Nie.
To po prostu oznacza, że pokoju nie interesuje rząd Grundy’ego. Pomieszczenie interesuje, czy w momencie zatrzymania zegara przełącznik znajduje się w pozycji góra, czy dół.
Co prowadzi do kolejnego pytania.
Jeśli jeszcze raz przełączę przełącznik specjalnie dla ciebie… czy pokój pozostanie w połowie ciemny?
