Наша щотижнева математична розсилка Proof Positive зазвичай досить доброзичлива. Ви отримуєте її щовівторка після обіду, якщо підписані. Це те саме читання, поки остигає кава.
Багато хто з нас мчав своїх батьків подібним чином. Увімкнути вимикач. Увімк. Вимк. Увімк. Швидко. Мама каже: досить. А ми думаємо: а що, якщо не перестати?
Уявіть собі на секунду, що ви безсмертні. Або хоча б досить терплячі для уявного експерименту.
Увімкніть лампу. Зачекайте хвилини. Вимкніть її. Зачекайте тридцять секунд. Увімкніть знову. Зачекайте п’ятнадцять. Щоразу скорочуйте час удвічі. Ви клацаєте вимикачем все швидше і швидше, переслідуючи межу нескінченності. Сформулювати питання нескладно.
Після рівно двох хвилин чи горить світло?
Джеймс Ф. Томсон писав про це 1954 року. Він виявив, що застряг.
“Схоже, що відповісти на це питання неможливо”.
Лампа не може горіти, тому що ви ніколи не залишали її в такому стані. Кожному «включенню» негайно слідує «вимикання». Вона не може бути вимкненою, тому що ви ніколи не дозволяли їй відпочити. Кожному «вимкненню» слідує «включення». Але вона має бути або включена, або вимкнена. Суперечність?
Томсон не був першим, хто порався з нескінченними сумами. Гвідо Гранді зробив це ще 1703 року.
Розглянемо цей ряд:
1+1/2+1/4+1/8...
Складіть все разом. Ви ніколи не досягнете двійки. Але ви підійде до неї нескінченно близько. Математики називають межею тут число 2. У нашому сценарії з лампою дві хвилини це саме та точка, де всі ці нескінченні перемикання завершують свою роботу.
Гранді дбав про заплутаніший ряд:
1 - 1 + 1 - 1...
Складіть або відніміть одиниці нескінченно. Підсумок залежить від того, де ви зупинитесь. Якщо зупинитися на парній кількості доданків, вийде 0. Непарна кількість? Вийде 1. Нескінченність — ні парна, ні непарна.
Примусове угруповання
Гранді спробував усунути цю невизначеність за допомогою дужок.
Згрупуйте перші два числа: (1 - 1). Це нуль. Додайте наступну пару. Ще нуль.
0+0+0...=0
Лампа вимкнена.
Але посуньте дужку на один знак праворуч. Залишіть першу одиницю одну.
1+(-1+1)+(-1+1)
Тепер кожна пара скорочується до нуля, залишаючи одиноку першу одиницю. Результат 1.
Лампа увімкнена.
Яке угруповання є «справжнім»? Жодна. Це – математичний театр.
Ґранді не зупинився на цьому. Він дав усьому нескінченному ряду ім’я. Назвемо його S.
S = 1 - 1 + 1 - 1 ...
Заберіть перший член. Решта ряду дорівнює -(S).
Отже: S = 1 - S.
Подвійна S дорівнює 1.
S = 1/2
Межа дорівнює одній другій. Багатьом експертам ця відповідь подобається. Він видається витонченим. Він дозволяє протистояння між 0 та 1.
Отже, повертаємось до лампи. Чи вона горить наполовину? Чи світиться лампочка з п’ятдесятьма відсотками потужності?
Фізично це неможливе для стандартного тумблера. Для будь-якого моменту до закінчення двох хвилин ми можемо назвати стан. Увімк. Вимк. Але рівно * в * термін? Тиша.
Фізика рятує день (начебто)
Джон Ермен та Джон Нортон занудьгували від чистої абстракції. Вони витягли уявний експеримент у фізичний світ.
Киньте металеву кульку. Чи не на підлогу. На індукційну варильну поверхню.
Перший відскок займає хвилину. Потім тридцять секунд. Потім п’ятнадцять. Нескінченні відскоки. Дві хвилини сумарно.
Щоразу, коли кулька вдаряється, вона генерує електричний імпульс. Ланцюг замикається. Лампа спалахує.
Тут діють закони фізики. Перемагає гравітація. Після нескінченного числа відскоків кулька перестає рухатися. Він лежить на пластині. Контакт встановлений.
Лампа залишається включеною. Межа дорівнює 1.
Тепер інвертуйте інженерне рішення.
Змусіть ланцюг розмикатися, коли кулька приземляється. Нормальний стан? Світло включене. Кулька приземлився? Світло вимкнено.
Кулька все одно відскакує нескінченну кількість разів. І все одно приходить у спокої на пластині у двохвилинній позначці. Оскільки приземлення розриває з’єднання, лампа гасне, коли кулька усувається.
Лампа “темна”. Межа дорівнює 0.
Ермен і Нортон зробили свій висновок. Лампа Томсона – не парадокс. Це погана головоломка. Їй не вистачає опису.
Залежно від того, як ви збудуєте вимикач, відповідь зміниться. Потрібно знати, що механізм робить, коли час спливає, а не просто те, скільки разів він клацав до цього.
Таємниця зникає, коли ви додаєте дроти та гравітацію.
Чи це означає, що математика помилялася? Ні.
Це просто означає, що кімната не дбає про ряд Гранді. Кімнату цікавить, чи знаходиться вимикач у верхньому або нижньому положенні, коли годинник зупиняється.
Що веде до іншого питання.
Якщо я переключу вимикач ще раз, спеціально для вас… чи кімната залишається наполовину темною?
