Alan Baker n’était pas seulement un théoricien. C’est lui qui a transformé la théorie abstraite des nombres en un outil pratique. Né à Londres le 19 août 1939, il est décédé à Cambridge le 4 février 2018. Mais son héritage est gravé dans la pierre. Ou plutôt, dans les équations.
Il a obtenu son B.S. Il a obtenu son B.A. du University College de Londres en 1961. Puis il a déménagé au Trinity College de Cambridge. Il a obtenu sa maîtrise et son doctorat. là-bas en 1964. Il est resté dans le monde universitaire, occupant un poste au University College pendant un an avant de rejoindre la faculté de Trinity en 1966.
La véritable magie s’est produite en 1970.
C’est à ce moment-là qu’il a reçu la Médaille Fields au Congrès international des mathématiciens de Nice, en France. C’est le prix Nobel de mathématiques. Et Baker l’a remporté pour un travail qui a changé notre façon de comprendre les équations diophantiennes.
Résoudre l’équation diophantienne non résolue
Avant Baker, les mathématiciens savaient qu’il y avait des limites. Mais ils n’ont pas pu le prouver. Entre Boulanger.
Il s’est appuyé sur le travail des géants. Axel Thue. Carl Ludwig Siegel. Klaus Friedrich Roth. Ces hommes ont posé les bases. Baker l’a terminé.
Sa percée ? Il a prouvé que pour une grande classe d’équations, vous pouvez déterminer explicitement toutes les solutions.
Regardons les mathématiques. Si vous avez une équation diophantienne f(x, y) = m, où m est un entier positif et f est une forme binaire irréductible de degré n ≥ 3, il existe une limite effective.
Appelez-le B.
Cette borne dépend uniquement de n et des coefficients. Pour toute solution (x0, y0 ), la valeur absolue maximale de x0 ou y0 est inférieure ou égale à B.
“Son exploit a été rendu d’autant plus impressionnant par la prédiction de l’Allemand David Hilbert…”
Ce n’est pas seulement de la théorie. C’est une limite. C’est une limite. C’est une façon d’arrêter de deviner et de commencer à calculer.
Théorie des nombres transcendantaux et Gelfond-Schneider
Mais Baker ne s’est pas arrêté aux équations diophantiennes.
Il a généralisé le théorème de Gelfond-Schneider. Ce théorème résout le septième problème de Hilbert.
Voici l’essentiel : si α et β sont algébriques, α ≠ 0, 1 et β est irrationnel, alors α^β est transcendantal.
Des nombres transcendantaux. Ils ne résolvent aucune équation algébrique. Pi en est un. Le nombre d’Euler e est un.
Baker est allé plus loin. Il a montré que si α1, …, αk sont algébriques (pas 0 ou 1), et si 1, β1, …, βk sont linéairement indépendants des rationnels, tous les βi étant des nombres algébriques irrationnels, alors le produit α1^β1…αk^βk est également transcendantal.
Pourquoi c’est important
Le mathématicien hongrois Paul Turán l’a parfaitement exprimé au Congrès de Nice.
“…sa performance a été rendue encore plus impressionnante par l’Allemand David
