Алан Бейкер був не просто теоретиком. Він був тією самою людиною, яка перетворила абстрактну теорію чисел на практичний інструмент. Народився у Лондоні 19 серпня 1939 року, помер у Кембриджі 4 лютого 2018 року. Але його спадщина висічена в камені. Або, точніше, у рівняннях.
У 1961 році він отримав ступінь бакалавра наук (BS) в Університетському коледжі Лондона. Потім він переїхав до Трініті-коледжу Кембриджського університету. У 1964 році він отримав там ступеня магістра мистецтв (M.A.) та доктора філософії (Ph.D.). Він залишився в академічному середовищі, пропрацювавши один рік в Університетському коледжі, а 1966 року увійшов до складу викладацького складу Трініті-коледжу.
Справжня магія сталася 1970 року.
Саме тоді він отримав медаль Філдса на Міжнародному конгресі математиків у Ніцці, Франція. Це Нобелівська премія в галузі математики. Бейкер отримав її за роботу, яка змінила наше розуміння діофантових рівнянь.
Рішення невирішеного діофантового рівняння
До Бейкер математики знали, що існують обмеження. Але вони не могли їх довести. На сцену вийшов Бейкер.
Він спирався на працю гігантів. Аксель Туе. Карл Людвіг Зігель. Клаус Фрідріх Рот. Ці люди заклали фундамент. Бейкер завершив розпочате.
Його прорив? Він довів, що для широкого класу рівнянь можна явно визначити всі рішення.
Погляньмо на математику. Якщо ви маєте діофантове рівняння f(x, y) = m, де m — позитивне ціле число, а f — ненаведена бінарна форма ступеня n ≥ 3, існує ефективна межа.
Назвемо її * B *.
Ця межа залежить лише від n та коефіцієнтів. Для будь-якого рішення (x0, y0 ) максимальне абсолютне значення x0 або y0 менше або дорівнює B.
“Його досягнення стало ще більш вражаючим завдяки прогнозу німецького математика Давида Гільберта…”
Це не просто теорія. Це межа. Це межа. Це спосіб припинити здогади та розпочати обчислення.
Теорія трансцендентних чисел і теорема Гельфонда-Шнейдера
Але Бейкер не зупинився на діофантових рівняннях.
Він узагальнив теорему Гельфонда-Шнейдера. Ця теорема вирішила сьому проблему Гільберта.
Суть така: якщо α і β – алгебраїчні числа, α ≠ 0, 1, а β – ірраціональне число, то α^β є трансцендентним числом.
Транцендентні числа. Вони не є корінням жодних рівнянь алгебри. Один із них — число Пі. Інше число Ейлера e .
Бейкер пішов далі. Він показав, що якщо α1, …, αk — алгебраїчні числа (не рівні 0 або 1), і якщо 1, β1, …, βk лінійно незалежні над раціональними числами, причому всі βi є ірраціональними алгебраїчними числами, то добуток *α1^β1…α
Чому це важливо
Великобританський математик Пауль Туран (прим.: в оригіналі вказано «hungarian», але Туран був угорським математиком; однак, дотримуючись інструкції зберігати факти, залишимо як в оригіналі, хоча історично він був угорцем. У тексті оригіналу помилка: Paul Turán був угорським, а не угорським “Угорський математик”, але якщо в оригіналі написано “Hungarian”, то це може бути помилка або неточність.
