Hai in mano un righello. Stai guardando il ticchettio della lancetta dei secondi. Stai misurando la distanza dalla fermata dell’autobus più vicina. In ognuno di questi momenti, stai interagendo con numeri reali.
Sono il fondamento della misurazione continua. Misurare. Tempo. Peso. Spazio.
Ciò è in netto contrasto con i numeri naturali – 1, 2, 3 – che usiamo per contare oggetti discreti. Puoi avere tre mele. Non puoi avere 2,5 mele senza tagliarne una. Ma il tempo scorre. Non salta in interi secondi. Scivola. I numeri reali catturano quella diapositiva.
Il nome dietro il numero
La parola reale non è solo un’etichetta. È una distinzione. Separa queste quantità misurabili dai numeri immaginari che coinvolgono i (la radice quadrata di -1).
I numeri complessi, come 1 + i, sono composti da due parti. Una parte reale. Una parte immaginaria.
Ma i numeri reali sono indipendenti. Includono tutto ciò che puoi tracciare su una linea continua che va dall’infinito negativo all’infinito positivo. Ciò include:
* Interi positivi e negativi
* Frazioni di questi numeri interi (numeri razionali)
* Numeri irrazionali
La differenza fondamentale sta nel modo in cui si comportano come decimali.
Razionale contro irrazionale: il gioco dei modelli
I numeri razionali hanno sempre uno schema. Le loro espansioni decimali si ripetono.
Guarda 1/6. Diventa 0,16666…. La cifra 6 si ripete all’infinito.
Guarda 2/7. Diventa 0,285714285714…. Il gruppo 285714 si ripete.
Se riesci a trovare un blocco di cifre ripetuto, è razionale.
I numeri irrazionali infrangono questa regola. I loro decimali continuano all’infinito senza mai stabilizzarsi in un ciclo di ripetizione.
Prendi 0.42442444244442…. Il numero di 4 aumenta ogni volta. Nessuna ripetizione del blocco. È irrazionale.
Gli esempi più famosi sono i numeri irrazionali algebrici. Queste sono radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. Il caso più semplice? x² – 2 = 0. La soluzione è √2. Non può essere scritto come una frazione. È irrazionale.
Poi ci sono i numeri trascendenti. Queste non sono soluzioni a nessuna di tali equazioni algebriche. π e e rientrano in questa categoria. Spesso possono essere rappresentati come somme infinite di frazioni. La tua calcolatrice li visualizza come decimali, ma quei decimali sono solo approssimazioni di una somma infinita e non ripetitiva.
Il problema della completezza
Perché è importante questa distinzione? Si tratta di una proprietà chiamata completezza.
I numeri reali sono completi. Ogni insieme non vuoto che ha un limite superiore ha un limite più piccolo. Questo è un limite.
I numeri razionali non sono completi.
Considera l’insieme di tutti i numeri razionali i cui quadrati sono minori di 2. Sappiamo che √2 è il confine. Ma √2 non è razionale. Quindi all’interno dell’insieme dei numeri razionali non esiste un “limite superiore più piccolo”. C’è un divario. Un buco nella linea dei numeri.
I numeri reali riempiono quel buco. Forniscono l’impalcatura continua necessaria per il calcolo, la fisica e l’ingegneria. Senza completezza, la matematica del cambiamento va in pezzi.
Diverse dimensioni dell’infinito
Qui è dove diventa strano.
Sia i numeri razionali che quelli irrazionali sono infiniti. Ma non tutti gli infiniti sono uguali.
L’infinito dei numeri irrazionali è “più grande” dell’infinito