Anda sedang memegang penggaris. Anda sedang menonton tick bekas. Anda mengukur jarak ke halte bus terdekat. Di setiap momen ini, Anda berinteraksi dengan bilangan real.
Mereka adalah dasar dari pengukuran berkelanjutan. Ukuran. Waktu. Berat. Ruang angkasa.
Hal ini sangat kontras dengan bilangan asli—1, 2, 3—yang kita gunakan untuk menghitung benda-benda diskrit. Anda dapat memiliki tiga buah apel. Anda tidak dapat memiliki 2,5 apel tanpa memotong satu pun. Tapi waktu terus berjalan. Itu tidak melompat dalam hitungan detik. Itu meluncur. Bilangan real menangkap slide itu.
Nama Dibalik Nomor
Kata nyata bukan sekedar label. Ini adalah sebuah perbedaan. Ini memisahkan besaran terukur ini dari bilangan imajiner yang melibatkan i (akar kuadrat dari -1).
Bilangan kompleks, seperti 1 + i, memiliki dua bagian. Bagian yang nyata. Bagian imajiner.
Namun bilangan real berdiri sendiri. Mereka mencakup segala sesuatu yang dapat Anda gambarkan pada garis kontinu yang membentang dari tak terhingga negatif hingga tak terhingga positif. Ini termasuk:
* Bilangan bulat positif dan negatif
* Pecahan dari bilangan bulat tersebut (bilangan rasional)
* Bilangan irasional
Perbedaan utamanya terletak pada cara mereka berperilaku sebagai desimal.
Rasional vs. Irasional: Permainan Pola
Bilangan rasional selalu mempunyai pola. Ekspansi desimalnya berulang.
Lihatlah 1/6. Menjadi 0,16666…. Angka 6 berulang selamanya.
Lihatlah 2/7. Menjadi 0,285714285714…. Grup 285714 berulang.
Jika Anda dapat menemukan kumpulan angka yang berulang, itu rasional.
Bilangan irasional melanggar aturan ini. Desimalnya berlangsung selamanya tanpa pernah mengalami siklus yang berulang.
Ambil 0,42442444244442…. Jumlah 4 bertambah setiap kali. Tidak ada blok yang berulang. Itu tidak rasional.
Contoh paling terkenal adalah bilangan irasional aljabar. Ini adalah akar persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat. Kasus paling sederhana? x² – 2 = 0. Solusinya adalah √2. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan. Itu tidak rasional.
Lalu ada angka transendental. Ini bukanlah solusi terhadap persamaan aljabar apa pun. π dan e termasuk dalam kategori ini. Mereka sering kali dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan yang tak terhingga. Kalkulator Anda menampilkannya sebagai desimal, namun desimal tersebut hanyalah perkiraan dari jumlah yang tidak ada habisnya dan tidak berulang.
Masalah Kelengkapan
Mengapa perbedaan ini penting? Itu tergantung pada properti yang disebut kelengkapan.
Bilangan real sudah lengkap. Setiap himpunan tak kosong yang mempunyai batas atas mempunyai batas terkecil. Ini adalah batasnya.
Bilangan rasional tidaklah lengkap.
Perhatikan himpunan semua bilangan rasional yang kuadratnya kurang dari 2. Kita tahu bahwa √2 adalah batasnya. Tapi √2 tidak rasional. Jadi dalam himpunan bilangan rasional, tidak ada “batas atas terkecil”. Ada kesenjangan. Sebuah lubang di garis bilangan.
Bilangan real mengisi lubang itu. Mereka menyediakan perancah berkelanjutan yang dibutuhkan untuk kalkulus, fisika, dan teknik. Tanpa kelengkapan, perhitungan perubahan akan berantakan.
Ukuran Infinity yang Berbeda
Di sinilah hal menjadi aneh.
Bilangan rasional dan irasional keduanya tidak terbatas. Namun tidak semua ketidakterbatasan diciptakan sama.
Tak terhingga dari bilangan irasional adalah “lebih besar” dari tak terhingga