Držíte pravítko. Sledujete pohyb vteřinové ručičky. Změříte vzdálenost k nejbližší autobusové zastávce. V každém z těchto okamžiků interagujete s skutečnými čísly.
Jsou základem kontinuálního měření. Velikost. Čas. Hmotnost. Plocha.
To je v příkrém rozporu s přirozenými čísly — 1, 2, 3 — které používáme k počítání diskrétních objektů. Můžete mít tři jablka. Ale nemůžete mít 2,5 jablka, aniž byste jedno nakrájeli. Čas však plyne. Neskáče dokola celé vteřiny. Klouže to. Reálná čísla zachycují tento skluz.
Význam názvu čísla
Slovo platný není jen označení. V tom je rozdíl. Odděluje tyto měřitelné veličiny od imaginárních čísel zahrnujících i (druhá odmocnina z -1).
Komplexní čísla, například 1 + i, mají dvě části. Skutečná část. Imaginární část.
Ale skutečná čísla existují sama o sobě. Zahrnují vše, co lze vykreslit na souvislou čáru táhnoucí se od záporného nekonečna do kladného nekonečna. To zahrnuje:
* Kladná a záporná celá čísla
* Zlomky těchto celých čísel (racionální čísla)
* Iracionální čísla
Klíčový rozdíl je v tom, jak se chovají jako desetinná místa.
Racionální vs. iracionální: hraní si se vzory
Racionální čísla mají vždy vzor. Jejich desetinné expanze jsou periodické.
Podívejte se na 1/6. Promění se na 0,16666…. Číslo 6 se opakuje donekonečna.
Podívejte se na 2/7. Promění se na 0,285714285714…. Skupina 285714 se opakuje.
Pokud můžete najít opakující se blok číslic, číslo je racionální.
Iracionální čísla toto pravidlo porušují. Jejich desetinná čísla pokračují donekonečna a nikdy nekončí opakujícím se cyklem.
Vezměte 0,42442444244442…. Počet čtyř se pokaždé zvyšuje. Žádný blok se neopakuje. Toto je iracionální číslo.
Nejznámějšími příklady jsou algebraická iracionální čísla. Toto jsou kořeny algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty. Nejjednodušší případ? x² – 2 = 0. Řešením je √2. Nelze to zapsat jako zlomek. Je to iracionální.
Pak jsou tu transcendentální čísla. Nejsou řešením žádných takových algebraických rovnic. Do této kategorie spadají π a e. Mohou být často reprezentovány jako nekonečné součty zlomků. Vaše kalkulačka je zobrazuje jako desetinná místa, ale tato desetinná místa jsou pouze aproximací nekonečného, neperiodického součtu.
Problém úplnosti
Proč na tomto rozdílu záleží? Vše se týká vlastnosti zvané úplnost.
Reálná čísla jsou kompletní. Každá neprázdná množina, která má horní mez, má takovou mez nejmenší. Toto je limit.
Racionální čísla nejsou úplná.
Uvažujme množinu všech racionálních čísel, jejichž druhé mocniny jsou menší než 2. Víme, že √2 je hranice. Ale √2 není racionální číslo. V množině racionálních čísel tedy neexistuje žádná „nejmenší horní mez“. Je tam mezera. Dírka na číselné ose.
Reálná čísla zaplňují tuto díru. Poskytují nepřetržitý rámec potřebný pro matematickou analýzu, fyziku a inženýrství. Bez úplnosti se matematika změny hroutí.
Různé velikosti nekonečna
Tady to začíná být zajímavé.
Racionální i iracionální čísla jsou nekonečná. Ale ne všechna nekonečna jsou si rovna.
Nekonečno iracionálních čísel je „větší“ než nekonečno
