Vous tenez une règle. Vous regardez une trotteuse tiquer. Vous mesurez la distance jusqu’à l’arrêt de bus le plus proche. Dans chacun de ces moments, vous interagissez avec des chiffres réels.
Ils constituent la base de la mesure continue. Taille. Temps. Poids. Espace.
Cela contraste fortement avec les nombres naturels (1, 2, 3) que nous utilisons pour compter des objets discrets. Vous pouvez avoir trois pommes. Vous ne pouvez pas avoir 2,5 pommes sans en couper une. Mais le temps passe. Cela ne saute pas en quelques secondes entières. Ça glisse. Les chiffres réels capturent cette diapositive.
Le nom derrière le numéro
Le mot réel n’est pas qu’une simple étiquette. C’est une distinction. Il sépare ces quantités mesurables des nombres imaginaires impliquant i (la racine carrée de -1).
Les nombres complexes, comme 1 + i, comportent deux parties. Une vraie partie. Une partie imaginaire.
Mais les chiffres réels sont autonomes. Ils incluent tout ce que vous pouvez tracer sur une ligne continue s’étendant de l’infini négatif à l’infini positif. Cela comprend :
* Entiers positifs et négatifs
* Fractions de ces entiers (nombres rationnels)
* Nombres irrationnels
La principale différence réside dans la façon dont ils se comportent comme des décimales.
Rationnel ou irrationnel : le jeu des modèles
Les nombres rationnels ont toujours une tendance. Leurs expansions décimales se répètent.
Regardez 1/6. Cela devient 0,16666…. Le chiffre 6 se répète indéfiniment.
Regardez 2/7. Cela devient 0,285714285714…. Le groupe 285714 se répète.
Si vous pouvez trouver un bloc de chiffres répétitif, c’est rationnel.
Les nombres irrationnels enfreignent cette règle. Leurs décimales s’éternisent sans jamais s’installer dans un cycle répétitif.
Prenez 0,42442444244442…. Le nombre de 4 augmente à chaque fois. Aucun bloc ne se répète. C’est irrationnel.
Les exemples les plus célèbres sont les nombres algébriques irrationnels. Ce sont des racines d’équations algébriques à coefficients entiers. Le cas le plus simple ? x² – 2 = 0. La solution est √2. On ne peut pas l’écrire sous forme de fraction. C’est irrationnel.
Ensuite, il y a les nombres transcendantaux. Ce ne sont pas des solutions à une telle équation algébrique. π et e entrent dans cette catégorie. Ils peuvent souvent être représentés comme des sommes infinies de fractions. Votre calculatrice les affiche sous forme de décimales, mais ces décimales ne sont que des approximations d’une somme infinie et non répétitive.
Le problème de l’exhaustivité
Pourquoi cette distinction est-elle importante ? Cela se résume à une propriété appelée exhaustivité.
Les chiffres réels sont complets. Tout ensemble non vide qui a une limite supérieure a une plus petite de ces limites. C’est une limite.
Les nombres rationnels ne sont pas complets.
Considérons l’ensemble de tous les nombres rationnels dont les carrés sont inférieurs à 2. Nous savons que √2 est la frontière. Mais √2 n’est pas rationnel. Ainsi, dans l’ensemble des nombres rationnels, il n’y a pas de « plus petite limite supérieure ». Il y a un écart. Un trou dans la droite numérique.
Les vrais chiffres comblent ce trou. Ils fournissent l’échafaudage continu nécessaire au calcul, à la physique et à l’ingénierie. Sans complétude, les calculs du changement s’effondrent.
Différentes tailles d’infini
C’est ici que ça devient étrange.
Les nombres rationnels et irrationnels sont infinis. Mais tous les infinis ne sont pas créés égaux.
L’infinité des nombres irrationnels est “plus grande” que l’infini
