Você está segurando uma régua. Você está observando um tiquetaque de segunda mão. Você está medindo a distância até o ponto de ônibus mais próximo. Em cada um desses momentos, você está interagindo com números reais.
Eles são a base da medição contínua. Tamanho. Tempo. Peso. Espaço.
Isto contrasta fortemente com os números naturais – 1, 2, 3 – que usamos para contar objetos discretos. Você pode comer três maçãs. Você não pode comer 2,5 maçãs sem cortar uma. Mas o tempo flui. Não salta em segundos inteiros. Ele desliza. Os números reais capturam esse slide.
O nome por trás do número
A palavra real não é apenas um rótulo. É uma distinção. Ele separa essas quantidades mensuráveis dos números imaginários envolvendo i (a raiz quadrada de -1).
Números complexos, como 1 + i, têm duas partes. Uma parte real. Uma parte imaginária.
Mas os números reais são independentes. Eles incluem tudo o que você pode traçar em uma linha contínua que se estende do infinito negativo ao infinito positivo. Isso inclui:
* Inteiros positivos e negativos
* Frações desses inteiros (números racionais)
* Números irracionais
A principal diferença está em como eles se comportam como decimais.
Racional vs. Irracional: o jogo dos padrões
Os números racionais sempre têm um padrão. Suas expansões decimais se repetem.
Veja 1/6. Torna-se 0,16666…. O dígito 6 se repete para sempre.
Veja 2/7. Torna-se 0,285714285714…. O grupo 285714 se repete.
Se você conseguir encontrar um bloco repetido de dígitos, é racional.
Os números irracionais quebram esta regra. Seus decimais duram indefinidamente, sem nunca se estabelecerem em um ciclo de repetição.
Pegue 0,42442444244442…. O número de 4s aumenta a cada vez. Nenhum bloco se repete. É irracional.
Os exemplos mais famosos são os números irracionais algébricos. Estas são raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros. O caso mais simples? x² – 2 = 0. A solução é √2. Não pode ser escrito como uma fração. É irracional.
Depois, há números transcendentais. Estas não são soluções para qualquer equação algébrica. π e e se enquadram nesta categoria. Muitas vezes podem ser representados como somas infinitas de frações. Sua calculadora os exibe como decimais, mas esses decimais são apenas aproximações de uma soma infinita e não repetitiva.
O problema da completude
Por que essa distinção é importante? Tudo se resume a uma propriedade chamada completude.
Os números reais estão completos. Todo conjunto não vazio que possui um limite superior possui um limite menor. Este é um limite.
Os números racionais não estão completos.
Considere o conjunto de todos os números racionais cujos quadrados são menores que 2. Sabemos que √2 é o limite. Mas √2 não é racional. Portanto, dentro do conjunto de números racionais, não existe um “menor limite superior”. Existe uma lacuna. Um buraco na reta numérica.
Os números reais preenchem essa lacuna. Eles fornecem a estrutura contínua necessária para cálculo, física e engenharia. Sem completude, a matemática da mudança desmorona.
Diferentes tamanhos de infinito
É aqui que fica estranho.
Tanto os números racionais quanto os irracionais são infinitos. Mas nem todos os infinitos são criados iguais.
O infinito dos números irracionais é “maior” que o infinito
