Вы держите линейку. Вы наблюдаете за движением секундной стрелки. Вы измеряете расстояние до ближайшей автобусной остановки. В каждый из этих моментов вы взаимодействуете с действительными числами.
Они являются основой непрерывного измерения. Размер. Время. Вес. Пространство.
Это резко контрастирует с натуральными числами — 1, 2, 3, — которые мы используем для подсчета дискретных объектов. У вас может быть три яблока. Но вы не можете иметь 2,5 яблока, не разрезав одно. Однако время течет. Оно не прыгает целыми секундами. Оно скользит. Действительные числа улавливают это скольжение.
Значение названия числа
Слово действительные — это не просто ярлык. Это различие. Оно отделяет эти измеримые величины от мнимых чисел, включающих i (квадратный корень из -1).
Комплексные числа, такие как 1 + i, состоят из двух частей. Действительной части. Мнимой части.
Но действительные числа существуют сами по себе. Они включают все, что можно отобразить на непрерывной прямой, простирающейся от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Это включает в себя:
* Положительные и отрицательные целые числа
* Дроби от этих целых чисел (рациональные числа)
* Ирациональные числа
Ключевое различие заключается в том, как они ведут себя в виде десятичных дробей.
Рациональные против иррациональных: игра с паттернами
Рациональные числа всегда имеют паттерн. Их десятичные разложения периодичны.
Посмотрите на 1/6. Оно превращается в 0,16666…. Цифра 6 повторяется бесконечно.
Посмотрите на 2/7. Оно превращается в 0,285714285714…. Группа 285714 повторяется.
Если вы можете найти повторяющийся блок цифр, число является рациональным.
Иррациональные числа нарушают это правило. Их десятичные дроби продолжаются бесконечно, никогда не переходя в повторяющийся цикл.
Возьмите 0,42442444244442…. Количество четверок увеличивается каждый раз. Ни один блок не повторяется. Это иррациональное число.
Самыми известными примерами являются алгебраические иррациональные числа. Это корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Самый простой случай? x² – 2 = 0. Решение — √2. Его нельзя записать в виде дроби. Оно иррационально.
Затем есть трансцендентные числа. Они не являются решениями каких-либо таких алгебраических уравнений. π и e попадают в эту категорию. Их часто можно представить в виде бесконечных сумм дробей. Ваш калькулятор отображает их в виде десятичных дробей, но эти десятичные дроби являются лишь приближениями бесконечной, непериодической суммы.
Проблема полноты
Почему это различие имеет значение? Все сводится к свойству, называемому полнотой.
Действительные числа полны. Каждое непустое множество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую такую границу. Это предел.
Рациональные числа не полны.
Рассмотрим множество всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Мы знаем, что √2 является границей. Но √2 не является рациональным числом. Таким образом, в множестве рациональных чисел нет «наименьшей верхней границы». Есть разрыв. Дыра на числовой прямой.
Действительные числа заполняют эту дыру. Они обеспечивают непрерывный каркас, необходимый для математического анализа, физики и инженерии. Без полноты математика изменений рушится.
Разные размеры бесконечности
Здесь становится интересно.
И рациональные, и иррациональные числа бесконечны. Но не все бесконечности равны.
Бесконечность иррациональных чисел «больше», чем бесконечность
