Je houdt een liniaal vast. Je kijkt naar een tweedehands teek. Je meet de afstand tot de dichtstbijzijnde bushalte. Op elk van deze momenten heb je te maken met reële getallen.
Ze vormen de basis van continu meten. Maat. Tijd. Gewicht. Ruimte.
Dit staat in schril contrast met de natuurlijke getallen – 1, 2, 3 – die we gebruiken voor het tellen van afzonderlijke objecten. Je mag drie appels hebben. Je kunt geen 2,5 appels hebben zonder er één te snijden. Maar de tijd stroomt. Het springt niet in hele seconden. Het glijdt. Reële cijfers vangen die dia op.
De naam achter het nummer
Het woord echt is niet alleen maar een label. Het is een onderscheid. Het scheidt deze meetbare grootheden van de denkbeeldige getallen waarbij i betrokken is (de vierkantswortel van -1).
Complexe getallen, zoals 1 + i, bestaan uit twee delen. Een echt onderdeel. Een denkbeeldig onderdeel.
Maar echte cijfers staan op zichzelf. Ze omvatten alles wat je kunt uitzetten op een ononderbroken lijn die zich uitstrekt van negatief oneindig tot positief oneindig. Dit omvat:
* Positieve en negatieve gehele getallen
* Breuken van deze gehele getallen (rationele getallen)
* Irrationele getallen
Het belangrijkste verschil ligt in hoe ze zich gedragen als decimalen.
Rationeel versus irrationeel: het patronenspel
Rationele getallen hebben altijd een patroon. Hun decimale uitbreidingen herhalen zich.
Kijk naar 1/6. Het wordt 0,16666…. Het cijfer 6 herhaalt zich voor altijd.
Kijk naar 2/7. Het wordt 0,285714285714…. De groep 285714 herhaalt zich.
Als je een herhalend blok cijfers kunt vinden, is het rationeel.
Irrationele getallen overtreden deze regel. Hun decimalen gaan eeuwig door zonder ooit in een herhalingscyclus terecht te komen.
Neem 0,42442444244442…. Het aantal 4s neemt elke keer toe. Geen blokherhalingen. Het is irrationeel.
De bekendste voorbeelden zijn algebraïsche irrationele getallen. Dit zijn wortels van algebraïsche vergelijkingen met gehele coëfficiënten. Het eenvoudigste geval? x² – 2 = 0. De oplossing is √2. Het kan niet als een breuk worden geschreven. Het is irrationeel.
Dan zijn er transcendentale getallen. Dit zijn geen oplossingen voor een dergelijke algebraïsche vergelijking. π en e vallen in deze categorie. Ze kunnen vaak worden weergegeven als oneindige sommen breuken. Je rekenmachine geeft ze weer als decimalen, maar die decimalen zijn slechts benaderingen van een eindeloze, niet-herhalende som.
Het probleem van volledigheid
Waarom is dit onderscheid van belang? Het komt neer op een eigenschap die volledigheid wordt genoemd.
Echte cijfers zijn compleet. Elke niet-lege verzameling die een bovengrens heeft, heeft een kleinste dergelijke grens. Dit is een limiet.
Rationele cijfers zijn niet compleet.
Beschouw de verzameling van alle rationale getallen waarvan het kwadraat kleiner is dan 2. We weten dat √2 de grens is. Maar √2 is niet rationeel. Binnen de verzameling rationale getallen bestaat er dus geen ‘kleinste bovengrens’. Er is een kloof. Een gat in de getallenlijn.
De echte cijfers vullen dat gat. Ze bieden de voortdurende basis die nodig is voor calculus, natuurkunde en techniek. Zonder volledigheid valt de wiskunde van verandering uiteen.
Verschillende maten van oneindigheid
Hier wordt het vreemd.
Zowel rationale als irrationele getallen zijn oneindig. Maar niet alle oneindigheden zijn gelijk geschapen.
De oneindigheid van irrationele getallen is “groter” dan de oneindigheid
