Proof Positive, onze wekelijkse wiskundenieuwsbrief, is meestal vriendelijk genoeg. Je krijgt hem elke dinsdagmiddag als je je aanmeldt. Het is iets dat je leest terwijl je koffie afkoelt.
De meesten van ons hebben onze ouders op deze manier gemarteld. Zet de schakelaar om. Op. Uit. Weer aan. Snel. Moeder zegt stop. Ik zeg: wat als ik dat niet doe?
Stel je voor dat je onsterfelijk bent. Of in ieder geval geduldig genoeg voor een gedachte-experiment.
Zet de lamp aan. Wacht een minuut. Schakel het uit. Wacht dertig seconden. Schakel het weer in. Wacht vijftien. Halveer telkens de duur. Je zet de schakelaar steeds sneller om en jaagt de rand van het oneindige na. De vraag is niet moeilijk te stellen.
Brandt het licht na precies twee minuten?
James F. Thomson schreef hierover in 1954. Hij kwam vast te zitten.
“Het lijkt onmogelijk om deze vraag te beantwoorden.”
De lamp kan niet branden omdat je hem nooit zo hebt gelaten. Elke ‘aan’ wordt onmiddellijk gevolgd door een ‘uit’. Het kan niet uit zijn, omdat je het nooit laat rusten. Elke ‘uit’ wordt gevolgd door een ‘aan’. Toch moet het het een of het ander zijn. Een tegenstrijdigheid?
Thomson was niet de eerste die met oneindige bedragen knoeide. Guido Grandi deed dat in 1703.
Denk eens aan deze serie:
1 + 1/2 +1/4 +1/8 ...
Voeg ze allemaal toe. Je bereikt nooit 2. Maar je komt oneindig dichtbij. Wiskundigen noemen de limiet 2. In ons lampscenario is twee minuten precies het moment waarop al die oneindige schakelaars hun werk voltooien.
Grandi gaf om een slordigere serie:
1 - 1 +1 - 1 ...
Voor altijd één optellen of aftrekken. Het hangt ervan af waar je stopt. Stop je op een even aantal termen, dan krijg je 0. Oneven getal? Je krijgt 1. Oneindigheid is echter noch even, noch oneven.
Groeperen met geweld
Grandi probeerde de dubbelzinnigheid op te lossen met haakjes.
Groepeer de eerste twee cijfers: (1 -1). Dat is nul. Voeg het volgende paar toe. Nog een nul.
0 + 0 +0 ... = 0
Het lampje is uit.
Maar verschuif de beugel één plaats naar rechts. Houd de eerste 1 alleen.
1 + (-1 +1) + (-1 +1)
Nu annuleert elk paar naar nul, waardoor dat eenzame eerste nummer overblijft. Het resultaat is 1.
Het lampje is aan.
Welke groepering is ‘echt’? Geen van beide. Het is wiskundetheater.
Grandi stopte daar niet. Hij gaf de hele oneindige reeks een naam. Laten we het S noemen.
S = 1 -1 +1 -1 ...
Verwijder de eerste term. De rest van de serie is gewoon -(S).
Dus: S = 1 -S.
Dubbel S is gelijk aan 1.
S = 1/2
De limiet is de helft. Veel experts waarderen dit antwoord. Het voelt slim. Het lost het touwtrekken tussen 0 en 1 op.
Dus terug naar de lamp. Is het half verlicht? Brandt de lamp op vijftig procent capaciteit?
Dat is fysiek onmogelijk voor een standaard tuimelschakelaar. Voor elk moment voordat de twee minuten voorbij zijn, kunnen we u de status vertellen. Op. Uit. Maar precies op de deadline? Stilte.
Natuurkunde redt de dag (soort van)
John Earman en John Norton raakten verveeld door pure abstractie. Ze sleepten het gedachte-experiment naar de fysieke wereld.
Laat een metalen bal vallen. Niet op de vloer. Op een inductiekookplaat.
De eerste stuiter duurt een minuut. Dan dertig seconden. Toen vijftien. Oneindige stuiters. Twee minuten totaal.
Elke keer dat de bal raakt, genereert deze een elektrische puls. Het circuit maakt verbinding. Het lampje gaat branden.
Natuurkunde is hier van toepassing. De zwaartekracht wint. Na oneindig veel stuiteren stopt de bal met bewegen. Het ligt op het bord. Het contact wordt gelegd.
De lamp blijft aan. Limiet is gelijk aan 1.
Draai nu de techniek om.
Maak het circuit open wanneer de bal landt. Normale toestand? Licht aan. Bal landt? Licht uit.
De bal stuitert nog steeds oneindig. Na twee minuten blijft het nog steeds op de plaat liggen. Omdat bij het landen de verbinding wordt verbroken, gaat de lamp uit als deze tot rust komt.
De lamp is donker. Limiet is gelijk aan 0.
Earman en Norton hadden hun conclusie. Thomsons lamp is geen paradox. Het is een slechte puzzel. Het ontbreekt aan beschrijving.
Afhankelijk van hoe je de schakelaar bouwt, verandert het antwoord. Je moet weten wat het mechanisme doet als de tijd om is, en niet alleen hoe vaak het daarvoor omdraait.
Het mysterie verdwijnt als je draden en zwaartekracht toevoegt.
Betekent dit dat wiskunde verkeerd was? Nee.
Het betekent alleen dat de kamer niets geeft om Grandi’s serie. Het maakt de kamer uit of de schakelaar omhoog of omlaag staat als de klok stopt.
Wat leidt tot een andere vraag.
Als ik de schakelaar nog een keer omdraai, speciaal voor jou… is de kamer nog halfdonker?
