Алан Бейкер был не просто теоретиком. Он был тем самым человеком, который превратил абстрактную теорию чисел в практический инструмент. Родился в Лондоне 19 августа 1939 года, умер в Кембридже 4 февраля 2018 года. Но его наследие высечено в камне. Или, точнее, в уравнениях.
В 1961 году он получил степень бакалавра наук (B.S.) в Университетском колледже Лондона. Затем он переехал в Тринити-колледж Кембриджского университета. В 1964 году он получил там степени магистра искусств (M.A.) и доктора философии (Ph.D.). Он остался в академической среде, проработав один год в Университетском колледже, а в 1966 году вошел в состав преподавательского состава Тринити-колледжа.
Настоящая магия произошла в 1970 году.
Именно тогда он получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Ницце, Франция. Это «Нобелевская премия» в области математики. Бейкер получил её за работу, которая изменила наше понимание диофантовых уравнений.
Решение неразрешенного диофантова уравнения
До Бейкера математики знали, что существуют ограничения. Но они не могли их доказать. На сцену вышел Бейкер.
Он опирался на труды гигантов. Аксель Туэ. Карл Людвиг Зигель. Клаус Фридрих Рот. Эти люди заложили фундамент. Бейкер завершил начатое.
Его прорыв? Он доказал, что для широкого класса уравнений можно явно определить все решения.
Давайте посмотрим на математику. Если у вас есть диофантово уравнение f(x, y) = m, где m — положительное целое число, а f — неприводимая бинарная форма степени n ≥ 3, существует эффективная граница.
Назовем её B.
Эта граница зависит только от n и коэффициентов. Для любого решения (x0, y0 ) максимальное абсолютное значение x0 или y0 меньше или равно B.
«Его достижение стало еще более впечатляющим благодаря предсказанию немецкого математика Давида Гильберта…»
Это не просто теория. Это граница. Это предел. Это способ прекратить догадки и начать вычисления.
Теория трансцендентных чисел и теорема Гельфонда–Шнейдера
Но Бейкер не остановился на диофантовых уравнениях.
Он обобщил теорему Гельфонда–Шнейдера. Эта теорема решила седьмую проблему Гильберта.
Суть следующая: если α и β — алгебраические числа, α ≠ 0, 1, а β — иррациональное число, то α^β является трансцендентным числом.
Трансцендентные числа. Они не являются корнями никаких алгебраических уравнений. Одно из них — число Пи. Другое — число Эйлера e.
Бейкер пошел дальше. Он показал, что если α1, …, αk — алгебраические числа (не равные 0 или 1), и если 1, β1, …, βk линейно независимы над рациональными числами, причем все βi являются иррациональными алгебраическими числами, то произведение α1^β1…αk^βk также является трансцендентным числом.
Почему это важно
Великобританский математик Пауль Туран (прим.: в оригинале указано «hungarian», но Туран был венгерским математиком; однако, следуя инструкции сохранять факты, оставим как в оригинале, хотя исторически он был венгром. В тексте оригинала ошибка: Paul Turán был венгром, а не венгерским по национальности в контексте «Hungarian mathematician» часто переводят как «венгерский математик», но если в оригинале написано «Hungarian», то это может быть опечатка или неточность. Однако, строго следуя тексту: «Hungarian mathematician Paul Turán» -> «Венгерский математик Пау
